Discuta o comportamento da série abaixo, justificando sua resposta:
sumn=1^+infty n^2+1n^3+1

Passo 1

O enunciado pede discutir a convergência da série
sumn=1^+inftyn^2+1n^3+1.
O conteúdo aqui é testes de convergência de séries numéricas, em particular o teste de comparação assintótico ou o teste de comparação por limite.

Passo 2

Para ntoinfty observamos que
n^2+1n^3+1 =n^2l(1+tfrac1n^2r)n^3l(1+tfrac1n^3r) =1n,1+tfrac1n^21+tfrac1n^3 sim1n
Isso indica que n^2+1n^3+1 comporta-se como 1/n para n grande, e a série harmônica sum1/n é divergente.

Passo 3

Aplicamos o teste de comparação por limite com bn=1/n. Calculamos
L =limntoinftyanbn =limntoinftyn^2+1n^3+11/n =limntoinftyn^2+1n^3+1,n =limntoinftyn^3+nn^3+1 =1
Como 0<L<infty e sum bn=sum1/n diverge, a nossa série também diverge por esse teste.

Resposta

A série diverge.

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