Verifique se a sequência 1 cdot 3 cdot 5 cdots cdots(2 n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdots cdot(2 n) é convergente ou não

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência
an = 1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1)2 cdot 4 cdot 6 cdots (2n)
é convergente. O conteúdo aqui envolve reescrever o produto em termos de fatoriais duplos e depois usar uma expressão com coeficientes binomiais ou uma aproximação assintótica para estudar seu limite.

Passo 2

Observamos que os produtos de pares e ímpares podem ser escritos com fatoriais duplos:
(2n-1)!! = 1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1), (2n)!! = 2 cdot 4 cdot 6 cdots (2n)
Logo
an = (2n-1)!!(2n)!!
Além disso, sabemos que
(2n)!! = 2^n,n! e (2n-1)!! = (2n)!2^n,n!

Passo 3

Substituindo essas fórmulas em an obtemos
an = (2n)!2^n,n!2^n,n! = (2n)!2^n,n!;2^n,n! = 14^n,(2n)!(n!)^2 = 14^nbinom2nn

Passo 4

Para estimar o comportamento de binom2nn quando ntoinfty, usamos a aproximação de Stirling que dá
binom2nn sim 4^nraizpi,n
Logo
an = 14^nbinom2nn sim 14^ncdot4^nraizpi,n = 1raizpi,n
Como 1raizpi,nto0 quando ntoinfty, segue que anto0.

Passo 5

Concluímos que a sequência an é convergente e seu limite é 0.

Resposta

A sequência converge e
limntoinfty 1cdot3cdot5cdots(2n-1)2cdot4cdot6cdots(2n) = 0

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