Verifique se a sequência
é convergente ou não
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a sequência
é convergente. O conteúdo aqui envolve reescrever o produto em termos de fatoriais duplos e depois usar uma expressão com coeficientes binomiais ou uma aproximação assintótica para estudar seu limite.
Passo 2
Observamos que os produtos de pares e ímpares podem ser escritos com fatoriais duplos:
Logo
Além disso, sabemos que
Passo 3
Substituindo essas fórmulas em
obtemos
Passo 4
Para estimar o comportamento de
quando
, usamos a aproximação de Stirling que dá
Logo
Como
quando
, segue que
.
Passo 5
Concluímos que a sequência
é convergente e seu limite é
.
Resposta
A sequência converge e