Determine a equação da reta perpendicular à reta 3 y+3 x=0 e tangente ao gráfico de f(x)=x^3-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é encontrar a equação de uma reta que seja perpendicular à reta 3y + 3x = 0 e que toque o gráfico da função f(x) = x^3 - 1 em exatamente um ponto (isso é o que significa ser tangente).
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de geometria analítica, como inclinação de retas, retas perpendiculares e o conceito de tangência em funções. Vamos dar um passo de cada vez!

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a inclinação (ou coeficiente angular) da reta dada 3y + 3x = 0. Para isso, vamos colocar a equação na forma y = mx + b, onde m é a inclinação.
Começando com 3y + 3x = 0:
3y = -3x y = -x
Então, a inclinação da reta é m = -1.

Passo 3

Agora, queremos uma reta que seja perpendicular a essa. Sabemos que retas perpendiculares têm inclinações que são negativas reciprocais uma da outra. Ou seja, se a inclinação de uma reta é m, a inclinação da reta perpendicular é -1m.
Então, como m = -1, a inclinação da reta perpendicular será:
mperp = -1-1 = 1
Portanto, a reta que a gente está procurando tem inclinação 1.

Passo 4

Em seguida, vamos considerar que a reta que queremos tem a forma geral:
y = mx + b
Já sabemos que m = 1, então a equação fica:
y = x + b
Nosso objetivo agora é encontrar o valor de b tal que essa reta seja tangente ao gráfico de f(x) = x^3 - 1.

Passo 5

Para que a reta y = x + b seja tangente à função f(x) = x^3 - 1, ela precisa tocar o gráfico dessa função em exatamente um ponto. Isso significa que o sistema de equações formado por y = x + b e y = x^3 - 1 tem exatamente uma solução.
Vamos igualar as duas equações:
x + b = x^3 - 1 x^3 - x - (1 + b) = 0
Para ter exatamente uma solução, essa equação cúbica deve ter apenas uma raiz real. Isso acontece quando a reta toca a curva no ponto onde a inclinação da curva é igual à inclinação da reta, ou seja, a derivada de f(x) é igual a m.

Passo 6

Vamos encontrar a derivada de f(x):
f(x) = x^3 - 1 f'(x) = 3x^2
A inclinação da reta é 1, então igualamos a derivada a 1:
3x^2 = 1 x^2 = 13 x = pm 1raiz3
Mas como queremos apenas um ponto de tangência, vamos considerar apenas uma das soluções. Vamos escolher x = 1raiz3.

Passo 7

Agora, vamos encontrar o y correspondente nesse ponto na função:
f(1raiz3) = (1raiz3)^3 - 1 = 13raiz3 - 1
Então, o ponto de tangência é (1raiz3, 13raiz3 - 1).

Passo 8

Sabemos que a reta tangente passa por esse ponto e tem inclinação 1. Vamos usar a equação da reta para encontrar b:
y = x + b 13raiz3 - 1 = 1raiz3 + b b = 13raiz3 - 1 - 1raiz3 b = -1 - 23raiz3
Podemos racionalizar o denominador para simplificar:
b = -1 - 2raiz39 b = -99 - 2raiz39 b = -9 + 2raiz39

Resposta

A equação da reta perpendicular a 3y + 3x = 0 e tangente ao gráfico de f(x) = x^3 - 1 é:
y = x - 9 + 2raiz39

Exercícios relacionados