Determine a equação da reta perpendicular à reta
e tangente ao gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa resolver aqui é encontrar a equação de uma reta que seja perpendicular à reta
e que toque o gráfico da função
em exatamente um ponto (isso é o que significa ser tangente).
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de geometria analítica, como inclinação de retas, retas perpendiculares e o conceito de tangência em funções. Vamos dar um passo de cada vez!
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir a inclinação (ou coeficiente angular) da reta dada
. Para isso, vamos colocar a equação na forma
, onde
é a inclinação.
Começando com
:
Então, a inclinação da reta é
.
Passo 3
Agora, queremos uma reta que seja perpendicular a essa. Sabemos que retas perpendiculares têm inclinações que são negativas reciprocais uma da outra. Ou seja, se a inclinação de uma reta é
, a inclinação da reta perpendicular é
.
Então, como
, a inclinação da reta perpendicular será:
Portanto, a reta que a gente está procurando tem inclinação
.
Passo 4
Em seguida, vamos considerar que a reta que queremos tem a forma geral:
Já sabemos que
, então a equação fica:
Nosso objetivo agora é encontrar o valor de
tal que essa reta seja tangente ao gráfico de
.
Passo 5
Para que a reta
seja tangente à função
, ela precisa tocar o gráfico dessa função em exatamente um ponto. Isso significa que o sistema de equações formado por
e
tem exatamente uma solução.
Vamos igualar as duas equações:
Para ter exatamente uma solução, essa equação cúbica deve ter apenas uma raiz real. Isso acontece quando a reta toca a curva no ponto onde a inclinação da curva é igual à inclinação da reta, ou seja, a derivada de
é igual a
.
Passo 6
Vamos encontrar a derivada de
:
A inclinação da reta é
, então igualamos a derivada a
:
Mas como queremos apenas um ponto de tangência, vamos considerar apenas uma das soluções. Vamos escolher
.
Passo 7
Agora, vamos encontrar o
correspondente nesse ponto na função:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 8
Sabemos que a reta tangente passa por esse ponto e tem inclinação
. Vamos usar a equação da reta para encontrar
:
Podemos racionalizar o denominador para simplificar:
Resposta
A equação da reta perpendicular a
e tangente ao gráfico de
é: