Apresentar a equação da parábola, que é simétrica em relação ao eixo x, passa pela origem e pelo ponto M(1,-4). Qual é a posição do foco desta parábola?

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma parábola que é simétrica em relação ao eixo x (logo a sua concavidade é para a direita ou para a esquerda), que passa pela origem (0,0) e por M(1,-4). Para resolver, vamos usar a forma padrão de uma parábola com vértice na origem e eixo paralelo ao eixo x:
y^2 = 4p,x,
onde p é a distância do vértice ao foco.

Passo 2

Como a parábola passa pela origem (0,0), isso já está consistente com o vértice na origem da forma y^2=4p,x. Precisamos então determinar p usando o ponto M(1,-4).

Passo 3

Substituímos (x,y)=(1,-4) na equação geral:
(-4)^2 = 4pcdot 1
16 = 4p
p = 4

Passo 4

Com p=4, a equação da parábola fica
y^2 = 4cdot 4,x Longrightarrow y^2 = 16x

Passo 5

Para parábolas da forma y^2=4p,x com vértice em (0,0), o foco está no ponto (p,0). Substituindo p=4, concluímos que o foco está em
(4,0)

Resposta

A equação da parábola é
y^2 = 16x,
e o foco está em (4,0).

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