As retas r1:l 3 x-2 z=0 2 x-2 z+10=0 e r2:l 4 x+y-2=0 y-3 z+2=0 são concorrentes, paralelas ou reversas? Justifique a sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em
e
.
Queremos saber se elas são concorrentes (se intersectam), paralelas ou reversas (skew). Para isso vamos, para cada reta,
  1. obter um vetor diretor a partir do produto vetorial dos normais aos planos;
  2. obter um ponto particular resolvendo o sistema;
  3. comparar direções (proporcionalidade) e buscar um ponto em comum.

Passo 2

Nosso primeiro plano de r1 tem normal n1=(3,0,-2) e o segundo tem normal n2=(2,0,-2). O vetor diretor de r1 é
v1 ;=; n1times n2 ;=;det i & j & k 3 & 0 & -2 2 & 0 & -2 ;=;(0,2,0)

Passo 3

Para achar um ponto de
Subtraindo a primeira da segunda vem . Em seguida . Como não aparece, é livre; escolhemos . Um ponto de é

Passo 4

No caso de r2, os planos têm normais n3=(4,1,0) e n4=(0,1,-3). O vetor diretor de r2 é
v2 ;=; n3times n4 ;=;det i & j & k 4 & 1 & 0 0 & 1 & -3 ;=;(-3,12,4)

Passo 5

Para obter um ponto de
Da primeira vem leva a , ou . Tomando obtemos e . Um ponto de é

Passo 6

Antes de ver se intersectam, testamos paralelismo comparando v1=(0,2,0) e v2=(-3,12,4). Não há escalar lambda tal que (0,2,0)=lambda(-3,12,4) (a componente x ou z impedem), logo as retas não são paralelas.

Passo 7

Por fim, para verificar interseção, tentamos um ponto comum usando parâmetros t em r1 e s em r2:
r1(t)=(10,t,15), r2(s)=l(tfrac4-3s4,,-2+3s,,sr)
Da igualdade de x vem tfrac4-3s4=10implies s=-12. Mas então z=r2(s)=s=-12neq15=z em r1. Não existe t,s que igualem todas as coordenadas ao mesmo tempo, logo elas não se intersectam.

Resposta

As retas r1 e r2 são reversas.

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