Apresentar a representação das seguintes grandezas nos sistemas MLT0 e FLT0:
Gradiente de Pressão;

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do gradiente de pressão no contexto de análise dimensional, usando os sistemas de base fundamental ML T^{0} (massa, comprimento, tempo) e FL T^{0} (força, comprimento, tempo). Vamos lembrar a definição de pressão e então aplicar a derivada espacial para obter seu gradiente.

Passo 2

Pressão é definida como força por área. No sistema ML T^{0}, força tem dimensão \mathrm{M\,L\,T^{-2}} e área tem dimensão \mathrm{L^{2}}. Logo, a dimensão de pressão é
[P] \;=\;\frac{\mathrm{M\,L\,T^{-2}}}{\mathrm{L^{2}}} \;=\;\mathrm{M\,L^{-1}\,T^{-2}}.

Passo 3

O gradiente de pressão é a derivada da pressão em relação à distância, ou seja, \partial P/\partial x. Dividindo a dimensão de P por \mathrm{L}, obtemos
[\nabla P] \;=\;\frac{\mathrm{M\,L^{-1}\,T^{-2}}}{\mathrm{L}} \;=\;\mathrm{M\,L^{-2}\,T^{-2}}.

Passo 4

No sistema FL T^{0} tomamos força como base: [F]=\mathrm{F\,L^{0}\,T^{0}}. Já tínhamos P com dimensão \mathrm{F\,L^{-2}}. Aplicando novamente a derivada por comprimento,
[\nabla P] \;=\;\frac{\mathrm{F\,L^{-2}}}{\mathrm{L}} \;=\;\mathrm{F\,L^{-3}\,T^{0}}.

Resposta

[\nabla P]_{\text{MLT}^0} = \mathrm{M\,L^{-2}\,T^{-2}} [\nabla P]_{\text{FLT}^0} = \mathrm{F\,L^{-3}\,T^{0}}

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