Apresentar os valores de erro os elementos abaixo considerando os processos de arredondamento e truncamento para o intervalo de zero a sete casas decimais.
\sqrt{5}= ?

Passo 1

O enunciado pede para aproximar \sqrt{5} pelo processo de truncamento e pelo de arredondamento, considerando números de casas decimais de zero até sete, e calcular o erro absoluto em cada caso. O conteúdo aplicado é aproximação numérica e análise de erro.

Passo 2

Primeiro obtemos um valor de referência de alta precisão para
x = \sqrt{5} \approx 2,23606797749979\ldots
Definimos para cada k=0,1,\dots,7:
– O truncamento
x_k^t = \frac{\lfloor x \times 10^k\rfloor}{10^k}
– O arredondamento
x_k^r = \frac{\bigl\lfloor x \times 10^k + 0{,}5\bigr\rfloor}{10^k}
– O erro absoluto de truncamento
\epsilon_k^t = \bigl|x - x_k^t\bigr|
– O erro absoluto de arredondamento
\epsilon_k^r = \bigl|x - x_k^r\bigr|.

Passo 3

Aplicando para cada k obtemos os seguintes resultados:
k =0 \displaystyle x_0^t=2,\;x_0^r=2 \displaystyle \epsilon_0^t=\epsilon_0^r=|2,23606798-2|=0,23606798 k =1 \displaystyle x_1^t=2,2,\;x_1^r=2,2 \displaystyle \epsilon_1^t=\epsilon_1^r=|2,23606798-2,2|=0,03606798 k =2 \displaystyle x_2^t=2,23,\;x_2^r=2,24 \displaystyle \epsilon_2^t=|2,23606798-2,23|=0,00606798,\;\epsilon_2^r=|2,23606798-2,24|=0,00393202 k =3 \displaystyle x_3^t=2,236,\;x_3^r=2,236 \displaystyle \epsilon_3^t=\epsilon_3^r=|2,23606798-2,236|=0,00006798 k =4 \displaystyle x_4^t=2,2360,\;x_4^r=2,2361 \displaystyle \epsilon_4^t=|2,23606798-2,2360|=0,00006798,\;\epsilon_4^r=|2,23606798-2,2361|=0,00003202 k =5 \displaystyle x_5^t=2,23606,\;x_5^r=2,23608 \displaystyle \epsilon_5^t=|2,23606798-2,23606|=0,00000798,\;\epsilon_5^r=|2,23606798-2,23608|=0,00001202 k =6 \displaystyle x_6^t=2,236067,\;x_6^r=2,236068 \displaystyle \epsilon_6^t=|2,23606798-2,236067|=0,00000098,\;\epsilon_6^r=|2,23606798-2,236068|=0,00000002 k =7 \displaystyle x_7^t=2,2360679,\;x_7^r=2,2360680 \displaystyle \epsilon_7^t=|2,23606798-2,2360679|=0,00000008,\;\epsilon_7^r=|2,23606798-2,2360680|=0,00000002

Resposta

Para cada número de casas decimais k, as aproximações e erros absolutos são:
k =0
Truncamento: 2, Arredondamento: 2 \epsilon^t=0,23606798, \epsilon^r=0,23606798 k =1
Truncamento: 2,2, Arredondamento: 2,2 \epsilon^t=0,03606798, \epsilon^r=0,03606798 k =2
Truncamento: 2,23, Arredondamento: 2,24 \epsilon^t=0,00606798, \epsilon^r=0,00393202 k =3
Truncamento: 2,236, Arredondamento: 2,236 \epsilon^t=0,00006798, \epsilon^r=0,00006798 k =4
Truncamento: 2,2360, Arredondamento: 2,2361 \epsilon^t=0,00006798, \epsilon^r=0,00003202 k =5
Truncamento: 2,23606, Arredondamento: 2,23608 \epsilon^t=0,00000798, \epsilon^r=0,00001202 k =6
Truncamento: 2,236067, Arredondamento: 2,236068 \epsilon^t=0,00000098, \epsilon^r=0,00000002 k =7
Truncamento: 2,2360679, Arredondamento: 2,2360680 \epsilon^t=0,00000008, \epsilon^r=0,00000002

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