Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{2}{\pi} \operatorname{arctg}(x)\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to+\infty}\biggl(\frac{2}{\pi}\operatorname{arctg}(x)\biggr)^{x}
que é uma forma indeterminada do tipo 1^{\infty}. Para lidar com isso, vamos usar a técnica de tomar logaritmo e depois reescrever como exponencial.

Passo 2

Defina
f(x)=\biggl(\frac{2}{\pi}\operatorname{arctg}(x)\biggr)^{x} \quad\text{e}\quad g(x)=\ln\bigl(f(x)\bigr) = x\ln\Bigl(\frac{2}{\pi}\operatorname{arctg}(x)\Bigr).
Então teremos
f(x)=e^{\,g(x)} \quad\text{e}\quad \lim_{x\to\infty}f(x) = \exp\Bigl(\lim_{x\to\infty}g(x)\Bigr),
desde que o limite de g(x) exista.

Passo 3

Para avaliar g(x), note que, para x\to+\infty,
\operatorname{arctg}(x)=\frac{\pi}{2}-\operatorname{arctg}\!\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr) \quad\text{e}\quad \operatorname{arctg}\!\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr)=\frac{1}{x}+o\!\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr).
Assim
\frac{2}{\pi}\operatorname{arctg}(x) = \frac{2}{\pi}\Bigl(\frac{\pi}{2}-\frac{1}{x}+o(\tfrac{1}{x})\Bigr) =1-\frac{2}{\pi\,x}+o\!\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr).

Passo 4

Agora aplicamos logaritmo
\ln\Bigl(\frac{2}{\pi}\operatorname{arctg}(x)\Bigr) =\ln\Bigl(1-\tfrac{2}{\pi\,x}+o(\tfrac{1}{x})\Bigr) =-\frac{2}{\pi\,x}+o\!\Bigl(\tfrac{1}{x}\Bigr).
Multiplicando por x obtemos
g(x)=x\ln\Bigl(\frac{2}{\pi}\operatorname{arctg}(x)\Bigr) =-\frac{2}{\pi}+o(1),
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\lim_{x\to\infty}g(x)=-\frac{2}{\pi}.

Passo 5

Como \lim_{x\to\infty}g(x)=-\tfrac{2}{\pi}, temos
\lim_{x\to\infty}f(x) =\exp\Bigl(-\tfrac{2}{\pi}\Bigr).

Resposta

\displaystyle e^{-\tfrac{2}{\pi}}

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