Sejam F(t)=t i+2 t^{2} j+3 t^{3} k e G(t)=3 t i-2 j+4 t^{2} k. Calcular:
\lim _{t \rightarrow 1}[F(t) \times G(t)].

Passo 1

O enunciado nos dá as funções vetoriais \displaystyle F(t)=t\,\mathbf{i}+2t^{2}\,\mathbf{j}+3t^{3}\,\mathbf{k}
e \displaystyle G(t)=3t\,\mathbf{i}-2\,\mathbf{j}+4t^{2}\,\mathbf{k},
e pede \displaystyle \lim_{t\to1}[F(t)\times G(t)].
Como cada coordenada de F e G é um polinômio em t, o produto vetorial também é contínuo em t, logo podemos simplesmente calcular \displaystyle F(1)\times G(1).

Passo 2

Calcular as imagens em t=1:
F(1)=1\,\mathbf{i}+2\,(1)^{2}\,\mathbf{j}+3\,(1)^{3}\,\mathbf{k} =1\,\mathbf{i}+2\,\mathbf{j}+3\,\mathbf{k},
G(1)=3\,(1)\,\mathbf{i}-2\,\mathbf{j}+4\,(1)^{2}\,\mathbf{k} =3\,\mathbf{i}-2\,\mathbf{j}+4\,\mathbf{k}.

Passo 3

Montar o determinante que dá o produto vetorial
F(1)\times G(1) =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[6pt] 1 & 2 & 3\\[3pt] 3 & -2 & 4 \end{vmatrix}.]

Passo 4

Calcular os cofatores:
Componente em \mathbf{i}:
2\cdot4 - 3\cdot(-2)=8+6=14.
Componente em \mathbf{j} (com sinal trocado):
1\cdot4 - 3\cdot3=4-9=-5 \quad\Longrightarrow\quad -(-5)=5.
Componente em \mathbf{k}:
1\cdot(-2)-2\cdot3=-2-6=-8.

Resposta

\,14\,\mathbf{i}+5\,\mathbf{j}-8\,\mathbf{k}

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