(2,0) Resolva a seguinte integral aplicando a Regra 3 / 8 de Simpson com 6 subintervalos e calcule o limitante superior para o erro. Com este número de subintervalos, quais métodos de integração numérica poderiam ser aplicados?
\int_{0,5}^{1} \ln (x)+2 x d x

Passo 1

O enunciado pede que a gente aproxime a integral
\int_{0,5}^{1} \ln(x)+2x\,dx
usando a Regra 3/8 de Simpson composta com 6 subintervalos e que calcule o limitante superior (bound) para o erro. Dados fornecidos e valores que já conhecemos do enunciado:
a=0,5,\qquad b=1,\qquad n=6.
A integral a aproximar é a soma de duas partes: f(x)=\ln(x)+2x. Em passos seguintes vamos aplicar a fórmula composta da regra 3/8 com esses dados e estimar o erro.

Passo 2

Apresentando a Regra 3/8 composta (explicação didática):
  • Dividimos [a,b] em n subintervalos de largura h=(b-a)/n. Aqui n deve ser múltiplo de 3 — e 6 é múltiplo de 3, ótimo.
  • A fórmula composta da Regra 3/8 é
\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}\Big[f(x_0)+f(x_n)+3\sum_{\substack{i=1\\\ i\not\equiv0\pmod{3}}}^{n-1} f(x_i) + 2\sum_{\substack{i=3\\\ i\equiv0\pmod{3}}}^{n-3} f(x_i)\Big].
Explicando as somas: índices com resto 1 ou 2 ao dividir por 3 recebem peso 3; índices múltiplos de 3 (exceto 0 e n) recebem peso 2. Essa regra vem de aproximar f por polinômio cúbico em blocos de 3 subintervalos.

Passo 3

Calcular h e os nós x_i:
h=\frac{b-a}{n}=\frac{1-0,5}{6}=\frac{0,5}{6}=\frac{1}{12}.
Os nós x_i=a+i h para i=0,\dots,6 são:
x_0=\tfrac{1}{2},\; x_1=\tfrac{7}{12},\; x_2=\tfrac{2}{3},\; x_3=\tfrac{3}{4},\; x_4=\tfrac{5}{6},\; x_5=\tfrac{11}{12},\; x_6=1.

Passo 4

Avaliar f(x)=\ln(x)+2x em cada nó (vou mostrar a expressão exata e o valor numérico aproximado):
\begin{aligned} f(x_0)&=f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)+2\cdot\tfrac{1}{2}=\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)+1\approx -0,6931471806+1=0,3068528194,\\[4pt] f(x_1)&=f\!\left(\tfrac{7}{12}\right)=\ln\!\left(\tfrac{7}{12}\right)+\tfrac{7}{6}\approx -0,538996507+1,166666667=0,627670160,\\[4pt] f(x_2)&=f\!\left(\tfrac{2}{3}\right)=\ln\!\left(\tfrac{2}{3}\right)+\tfrac{4}{3}\approx -0,405465108+1,333333333=0,927868225,\\[4pt] f(x_3)&=f\!\left(\tfrac{3}{4}\right)=\ln\!\left(\tfrac{3}{4}\right)+\tfrac{3}{2}\approx -0,287682073+1,5=1,212317927,\\[4pt] f(x_4)&=f\!\left(\tfrac{5}{6}\right)=\ln\!\left(\tfrac{5}{6}\right)+\tfrac{5}{3}\approx -0,182321557+1,666666667=1,484345110,\\[4pt] f(x_5)&=f\!\left(\tfrac{11}{12}\right)=\ln\!\left(\tfrac{11}{12}\right)+\tfrac{11}{6}\approx -0,087011377+1,833333333=1,746321956,\\[4pt] f(x_6)&=f(1)=\ln(1)+2\cdot1=0+2=2. \end{aligned}
(Arredondei cada valor para cerca de 9–10 casas decimais para manter precisão nas contas.)]

Passo 5

Aplicar a fórmula composta com as pesos. Primeiro formamos as somas:
  • Nós com peso 3: i=1,2,4,5. Soma S_3=f(x_1)+f(x_2)+f(x_4)+f(x_5).
S_3\approx 0,627670160+0,927868225+1,484345110+1,746321956=4,786205451.
  • Nós com peso 2: i=3. Soma S_2=f(x_3)\approx 1,212317927.
  • Endpoints: f(x_0)+f(x_6)\approx 0,3068528194+2=2,3068528194.
Agora aplicar a fórmula:
\text{aprox}=\frac{3h}{8}\Big[f(x_0)+f(x_6)+3S_3+2S_2\Big].
Como h=\tfrac{1}{12}, temos \dfrac{3h}{8}=\dfrac{3(1/12)}{8}=\dfrac{1}{32}.
Então
\begin{aligned} \text{aprox}&=\frac{1}{32}\big(2,3068528194 + 3\cdot4,786205451 + 2\cdot1,212317927\big)\\\ &=\frac{1}{32}\big(2,3068528194 + 14,358616353 + 2,424635854\big)\\\ &=\frac{1}{32}\cdot 19,0901050264\\\ &\approx 0,5965657858. \end{aligned}
(O resultado numérico obtido é \approx 0,5965657858.)

Passo 6

Para ter uma referência, calculemos a integral exata (fácil neste caso) para ver o erro real:
\int \ln x\,dx = x\ln x - x,\qquad \int 2x\,dx = x^2.
Portanto
\int_{0,5}^{1}\big(\ln x + 2x\big)\,dx =\Big[x\ln x - x + x^2\Big]_{0,5}^{1}.
Avaliações:
\text{em }1:\;1\cdot\ln1-1+1^2=0-1+1=0,\qquad \text{em }0,5:\;\tfrac{1}{2}\ln\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{2}\ln\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}.
Logo a integral é
0-\Big(\tfrac{1}{2}\ln\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}\Big) = -\tfrac{1}{2}\ln\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{2}\ln 2 + \tfrac{1}{4}\approx 0,5965735903.
Erro real da aproximação:
\text{erro real}\approx 0,5965657858-0,5965735903\approx -7{,}8045\times 10^{-6},
ou seja, erro absoluto \approx 7{,}8\times 10^{-6}.

Passo 7

Estimativa (limitante superior) do erro para a Regra 3/8 composta (explicação e cálculo):
  • A fórmula de cota de erro para a regra 3/8 composta é
|E|\le \frac{b-a}{80}\,h^{4}\,\max_{x\in[a,b]}|f^{(4)}(x)|.
Vou justificar rapidamente: esse é o termo de erro conhecido para a regra 3/8 composta (é análogo ao caso de Simpson 1/3, mas com constante diferente). Para usá-la precisamos de f^{(4)}(x).
  • Calculemos as derivadas de f(x)=\ln x + 2x:
f'(x)=\frac{1}{x}+2,\qquad f''(x)=-\frac{1}{x^{2}},\qquad f^{(3)}(x)=\frac{2}{x^{3}},\qquad f^{(4)}(x)=-\frac{6}{x^{4}}.
  • No intervalo [0,5,\,1] (ou seja, [0{,}5,1]), |f^{(4)}(x)|=\dfrac{6}{x^{4}} é máxima em x=a=0{,}5 (porque 1/x^{4} decresce quando x aumenta). Então
M_4=\max_{[0{,}5,1]}|f^{(4)}(x)|=\frac{6}{(0{,}5)^{4}}=\frac{6}{(1/16)}=96.
  • Agora aplicar a fórmula com b-a=0{,}5, h=\tfrac{1}{12}, M_4=96:
|E|\le \frac{0{,}5}{80}\left(\frac{1}{12}\right)^{4}\cdot 96.
Calcule passo a passo:
\left(\frac{1}{12}\right)^{4}=\frac{1}{20736},\qquad \frac{0{,}5}{80}=\frac{1}{160}.
Então
|E|\le \frac{1}{160}\cdot\frac{1}{20736}\cdot 96=\frac{96}{160\cdot 20736}.
Simplificando 96/(160)=3/5\cdot 1/?? — podemos calcular numericamente:
\frac{96}{160\cdot 20736}=\frac{1}{34560}\approx 2{,}8935185\times 10^{-5}.
Portanto o limitante superior para o erro é aproximadamente 2{,}8935\times10^{-5}. Note que o erro real \approx 7{,}8\times10^{-6} é menor que essa cota, como esperado.

Passo 8

Quais métodos de integração numérica poderiam ser aplicados com n=6 subintervalos?
  • Regra dos trapézios composta: aplicável para qualquer n.
  • Regra do ponto médio composta: aplicável para qualquer n.
  • Simpson 1/3 composta: exige n par; n=6 é par → aplicável.
  • Simpson 3/8 composta: exige n múltiplo de 3; n=6 é múltiplo de 3 → aplicável (foi a que usamos).
  • Regra de Boole (Newton–Cotes de grau 4) composta: exige n múltiplo de 4; com n=6 não é diretamente aplicável (a menos que se combine painéis diferentes, mas não é a forma composta padrão).
    Além disso, métodos como Romberg (a partir de trapézio refinado) ou quadraturas de Gauss podem ser usados independentemente do particionamento em subintervalos regulares, mas as regras compostas acima são as mais diretas quando se tem n=6.

Resposta

Aproximação pela Regra 3/8 composta com n=6: 0,5965657858
Limitante superior para o erro: 2,8935\times10^{-5}
Métodos aplicáveis com n=6: trapézio composto; ponto médio composto; Simpson 1/3 composto; Simpson 3/8 composto.

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