Resolva a seguinte integral aplicando a Regra
de Simpson com 6 subintervalos e calcule o limitante superior para o erro. Com este número de subintervalos, quais métodos de integração numérica poderiam ser aplicados?
Passo 1
O enunciado pede que a gente aproxime a integral
usando a Regra
de Simpson composta com
subintervalos e que calcule o limitante superior (bound) para o erro. Dados fornecidos e valores que já conhecemos do enunciado:
A integral a aproximar é a soma de duas partes:
. Em passos seguintes vamos aplicar a fórmula composta da regra
com esses dados e estimar o erro.
Passo 2
Apresentando a Regra
composta (explicação didática):
- Dividimos
em subintervalos de largura . Aqui deve ser múltiplo de — e é múltiplo de , ótimo. - A fórmula composta da Regra
é
Explicando as somas: índices com resto 1 ou 2 ao dividir por 3 recebem peso
; índices múltiplos de
(exceto
e
) recebem peso
. Essa regra vem de aproximar
por polinômio cúbico em blocos de 3 subintervalos.
Passo 3
Calcular
e os nós
:
Os nós
para
são:
Passo 4
Avaliar
em cada nó (vou mostrar a expressão exata e o valor numérico aproximado):
(Arredondei cada valor para cerca de 9–10 casas decimais para manter precisão nas contas.)]
Passo 5
Aplicar a fórmula composta com as pesos. Primeiro formamos as somas:
- Nós com peso
: . Soma .
- Nós com peso
: . Soma . - Endpoints:
.
Agora aplicar a fórmula:
Como
, temos
.
Então
Então
(O resultado numérico obtido é
.)
Passo 6
Para ter uma referência, calculemos a integral exata (fácil neste caso) para ver o erro real:
Portanto
Avaliações:
Logo a integral é
Erro real da aproximação:
ou seja, erro absoluto
.
Passo 7
Estimativa (limitante superior) do erro para a Regra
composta (explicação e cálculo):
- A fórmula de cota de erro para a regra
composta é
Vou justificar rapidamente: esse é o termo de erro conhecido para a regra
composta (é análogo ao caso de Simpson
, mas com constante diferente). Para usá-la precisamos de
.
- Calculemos as derivadas de
:
- No intervalo
(ou seja, ), é máxima em (porque decresce quando aumenta). Então
- Agora aplicar a fórmula com
, , :
Calcule passo a passo:
Então
Simplificando
— podemos calcular numericamente:
Portanto o limitante superior para o erro é aproximadamente
. Note que o erro real
é menor que essa cota, como esperado.
Passo 8
Quais métodos de integração numérica poderiam ser aplicados com
subintervalos?
- Regra dos trapézios composta: aplicável para qualquer
. - Regra do ponto médio composta: aplicável para qualquer
. - Simpson
composta: exige par; é par → aplicável. - Simpson
composta: exige múltiplo de ; é múltiplo de → aplicável (foi a que usamos). - Regra de Boole (Newton–Cotes de grau 4) composta: exige
múltiplo de ; com não é diretamente aplicável (a menos que se combine painéis diferentes, mas não é a forma composta padrão).
Além disso, métodos como Romberg (a partir de trapézio refinado) ou quadraturas de Gauss podem ser usados independentemente do particionamento em subintervalos regulares, mas as regras compostas acima são as mais diretas quando se tem.
Resposta
Aproximação pela Regra
composta com
:
Limitante superior para o erro:
Métodos aplicáveis com : trapézio composto; ponto médio composto; Simpson
composto; Simpson
composto.
Limitante superior para o erro:
Métodos aplicáveis com