Apresente uma base para os seguintes subespaços vetoriais:
S=(x, y, z) in R^3 mid x+2 y-z=0

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores S = (x, y, z) in R^3 mid x + 2y - z = 0 . Esse conjunto é um subespaço vetorial do R^3.
O conteúdo envolvido aqui é álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e bases. Para resolver, precisamos entender como encontrar uma base para esse subespaço, o que envolve encontrar vetores que “geram” todo o subespaço e que são linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação que define o subespaço para facilitar a resolução. A equação é:
x + 2y - z = 0
Podemos resolver essa equação para uma das variáveis em termos das outras. Vamos resolver para x :
x = -2y + z
Agora, expressamos o vetor (x, y, z) em termos de y e z :
(x, y, z) = (-2y + z, y, z)

Passo 3

Podemos separar essa expressão em múltiplas combinações de y e z :
(-2y + z, y, z) = y(-2, 1, 0) + z(1, 0, 1)
Isso mostra que qualquer vetor no subespaço S pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores (-2, 1, 0) e (1, 0, 1).

Passo 4

Para que esses vetores formem uma base para [S), eles precisam ser linearmente independentes. Vamos verificar se isso é verdade.
Assumamos que existe uma combinação linear:
Isso resulta no sistema:
Da segunda equação, . Portanto, os únicos coeficientes que satisfazem a combinação linear são , o que significa que os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Uma base para o subespaço S é formada pelos vetores , (-2, 1, 0), (1, 0, 1) , .

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