Apresente uma base para os seguintes subespaços vetoriais:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores . Esse conjunto é um subespaço vetorial do .
O conteúdo envolvido aqui é álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e bases. Para resolver, precisamos entender como encontrar uma base para esse subespaço, o que envolve encontrar vetores que “geram” todo o subespaço e que são linearmente independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação que define o subespaço para facilitar a resolução. A equação é:
Podemos resolver essa equação para uma das variáveis em termos das outras. Vamos resolver para :
Agora, expressamos o vetor em termos de e :
Passo 3
Podemos separar essa expressão em múltiplas combinações de e :
Isso mostra que qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e .
Passo 4
Para que esses vetores formem uma base para [S), eles precisam ser linearmente independentes. Vamos verificar se isso é verdade.
Assumamos que existe uma combinação linear:
Isso resulta no sistema:
Da segunda equação, . Portanto, os únicos coeficientes que satisfazem a combinação linear são , o que significa que os vetores são linearmente independentes.
Resposta
Uma base para o subespaço S é formada pelos vetores , (-2, 1, 0), (1, 0, 1) , .