Representação gráfica de hipérboles no plano
Hipérbole com centro na origem O(0,0) e o eixo real está sobre o eixo dos x ou dos y : Reduzir, se necessário, cada uma das equações à forma canônica, identificar os focos, os vértices, o eixo real, a excentricidade e as assíntotas (duas retas de equação y= pm ba x ou y= pm ab x, respectivamente para o eixo real sobre o eixo dos x ou dos y ) de cada hipérbole e construir o gráfico.
x^29-y^24=1

Passo 1

O enunciado pede a representação gráfica da hipérbole com centro na origem e eixo real sobre o eixo dos x. Precisamos reduzir a equação à forma canônica, identificar os parâmetros a e b, depois encontrar vértices, focos, excentricidade, eixo real, assíntotas e, por fim, esboçar o gráfico.

Passo 2

Comparando
x^29-y^24=1
com a forma canônica
x^2a^2-y^2b^2=1
vemos que
a^2=9, b^2=4 Longrightarrow a=3,;b=2

Passo 3

Os vértices são os pontos em que a hipérbole corta o eixo real:
(pm a,0)=(pm3,0)
O eixo real é o segmento de reta que liga (-3,0) a (3,0).
A excentricidade mede o “alongamento” e vem de
e=raiz1+b^2a^2 =raiz1+49 =raiz133
Os focos estão sobre o eixo x a distância ae do centro:
(pm ae,0) =l(pmraiz13,0r)

Passo 4

As assíntotas são as retas que passam pelo centro e têm coeficiente angular pm b/a. Logo:
y=pmba,x =pm23x

Passo 5

Para esboçar o gráfico:
  1. Desenhe os eixos coordenados.
  2. Marque os vértices (pm3,0) e os focos l(pmraiz13,0r).
  3. Trace as assíntotas y=pmtfrac23x como guias.
  4. Desenhe as duas ramas da hipérbole abrindo para a esquerda e para a direita, aproximando-se das assíntotas.

Resposta

Forma canônica: x^29-y^24=1
Vértices: (3,0), (-3,0)
Focos: (raiz13,0), (-raiz13,0)
Eixo real: segmento de reta no eixo x de (-3,0) a (3,0)
Excentricidade: e=tfracraiz133
Assíntotas: y=pmtfrac23x

Exercícios relacionados