Representação gráfica de elipses no plano
Elipse com centro na origem O(0,0) e focos sobre o eixo dos x ou dos y : Reduzir, se necessário, cada uma das equações à forma canônica, identificar focos, vértices, centro, medida do eixo maior e do eixo menor, distância focal e excentricidade de cada elipse e construir o gráfico.
9 x^2+25 y^2=225

Passo 1

O enunciado dá a equação da elipse centrada em O(0,0)
9x^2 + 25y^2 = 225
e pede para reduzi-la à forma canônica, identificar centro, vértices, focos, eixos maior e menor, distância focal, excentricidade e esboçar o gráfico. Vamos usar o fato de que, dividindo ambos os lados por 225, obtemos a forma padrão
x^2a^2 + y^2b^2 = 1,
onde a e b são meios dos eixos.

Passo 2

Dividindo a equação por 225:
9x^2225 + 25y^2225 = 1
o que simplifica para
x^225 + y^29 = 1

Passo 3

Da forma x^225 + y^29 = 1 identificamos
a^2 = 25, b^2 = 9,
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a = 5, b = 3
Como a>b, o eixo maior está ao longo do eixo x.

Passo 4

Para encontrar os focos calculamos
c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9 = 16
portanto
c = 4
A excentricidade é
e = ca = 45 = 0,8

Passo 5

Centro: (0,0).
Vértices do eixo maior: (pm a,0) = (pm5,0).
Co-vértices do eixo menor: (0,pm b) = (0,pm3).
Focos: (pm c,0) = (pm4,0).
Comprimento do eixo maior: 2a = 10.
Comprimento do eixo menor: 2b = 6.
Distância focal total: 2c = 8.

Passo 6

O gráfico é uma curva fechada centrada na origem, esticada de -5 a 5 no eixo x e de -3 a 3 no eixo y. Os focos ficam em (-4,0) e (4,0). Basta ligar suavemente esses pontos formando uma elipse simétrica em relação aos eixos.

Resposta

Equação canônica:
x^225 + y^29 = 1
Centro: (0,0)
Vértices: (pm5,0)
Co-vértices: (0,pm3)
Focos: (pm4,0)
Eixo maior: 2a=10
Eixo menor: 2b=6
Distância focal: 2c=8
Excentricidade: e=0,8
Gráfico: elipse centrada na origem, estendida até x=pm5 e y=pm3, com focos em (pm4,0).

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