Representação gráfica de hipérboles no plano
Hipérbole com centro na origem O(0,0) e o eixo real está sobre o eixo dos x ou dos y : Reduzir, se necessário, cada uma das equações à forma canônica, identificar os focos, os vértices, o eixo real, a excentricidade e as assíntotas (duas retas de equação y= pm ba x ou y= pm ab x, respectivamente para o eixo real sobre o eixo dos x ou dos y ) de cada hipérbole e construir o gráfico.
y^24-x^29=1

Passo 1

O enunciado nos dá a hipérbole
y^24-x^29=1
com centro em (0,0) e pede: forma canônica, vértices, focos, eixo real, excentricidade e assíntotas, além do esboço do gráfico. Note que o termo positivo está em y^2, então o eixo real é o eixo dos y.

Passo 2

Comparando com a forma canônica
y^2a^2-x^2b^2=1
vemos que
a^2=4, b^2=9
logo
a=2, b=3

Passo 3

Como o eixo real está sobre o eixo dos y, os vértices ficam em
(0,pm a) = (0,pm2)

Passo 4

O parâmetro c dos focos satisfaz
c^2=a^2+b^2=4+9=13,
portanto
c=raiz13
Os focos estão em
(0,pm c) = l(0,pmraiz13r)

Passo 5

A excentricidade é
e=ca=raiz132

Passo 6

As assíntotas de uma hipérbole com eixo real em y têm equação
y=pmab,x
Substituindo a=2 e b=3, vem
y=pm23,x

Passo 7

Para esboçar o gráfico:
– Marque o centro em (0,0).
– Desenhe os vértices em (0,2) e (0,-2).
– Trace as assíntotas y=tfrac23x e y=-tfrac23x.
– Cada ramo da hipérbole parte de um vértice e se aproxima dessas retas.

Resposta

Forma canônica:
y^22^2-x^23^2=1
Vértices: (0,2) e (0,-2).
Focos: l(0,pmraiz13r).
Eixo real: segmento vertical ligando (0,-2) a (0,2).
Excentricidade: e=tfracraiz132.
Assíntotas:
y=23x e y=-23x
Gráfico: dois ramos abertos para cima e para baixo, centrados em (0,0), passando pelos vértices e aproximando-se das assíntotas.

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