Representação gráfica de elipses no plano
Elipse com centro na origem O(0,0) e focos sobre o eixo dos x ou dos y : Reduzir, se necessário, cada uma das equações à forma canônica, identificar focos, vértices, centro, medida do eixo maior e do eixo menor, distância focal e excentricidade de cada elipse e construir o gráfico.
x^2+y^2=25

Passo 1

Beleza! Então, a gente vai resolver o exercício sobre representação gráfica de elipses no plano. A equação que temos é x^2 + y^2 = 25 . Vamos precisar entender a forma canônica das elipses, identificar os focos, vértices, o centro, os eixos maior e menor, a distância focal e a excentricidade. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos ver se essa equação já está na forma canônica de uma elipse. A forma geral da elipse com centro na origem é:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Onde:
  • a é o raio maior
  • b é o raio menor
Vamos comparar com a equação dada:
x^2 + y^2 = 25
Podemos dividir ambos os lados por 25 para deixar na forma canônica:
x^225 + y^225 = 1
Agora está na forma canônica!

Passo 3

Comparando com a forma canônica, vemos que a^2 = 25 e b^2 = 25 . Portanto:
a = raiz25 = 5 b = raiz25 = 5
Como a = b , isso significa que a figura que a gente tem aqui não é uma elipse comum, mas sim um círculo, já que os dois eixos são iguais.

Passo 4

Mesmo sendo um círculo, vamos seguir os passos para identificar as características:
  • Centro: A equação está na forma x^225 + y^225 = 1 , então o centro é O(0,0) .
  • Vértices: Como é um círculo, os vértices estão a uma distância a = 5 nas direções dos eixos x e y . Então, os vértices são (5,0) , (-5,0) , (0,5) e (0,-5) .
  • Eixo maior e menor: Ambos têm o mesmo comprimento, que é 2a = 10 , já que a = b .
  • Focos: Para uma elipse, a distância dos focos é c = raiza^2 - b^2 . Mas aqui, como a = b , c = 0 . Isso significa que os focos coincidem com o centro.
  • Excentricidade: A excentricidade e é dada por e = ca . Como c = 0 , e = 0 . Isso confirma que é um círculo, pois a excentricidade de um círculo é zero.

Passo 5

Agora, vamos construir o gráfico:
Sabendo que o centro é (0,0) e o raio é 5, desenhamos um círculo com raio 5 centrado na origem. Os pontos principais são os vértices que mencionamos: (5,0) , (-5,0) , (0,5) e (0,-5) .

Resposta

A equação x^2 + y^2 = 25 representa um círculo com centro na origem (0,0) , raio 5. Os vértices estão em (5,0) , (-5,0) , (0,5) e (0,-5) . Ambos os eixos maior e menor têm comprimento 10, os focos coincidem com o centro e a excentricidade é zero.

Exercícios relacionados