Representação gráfica de elipses no plano
Elipse com centro na origem
e focos sobre o eixo dos
ou dos
: Reduzir, se necessário, cada uma das equações à forma canônica, identificar focos, vértices, centro, medida do eixo maior e do eixo menor, distância focal e excentricidade de cada elipse e construir o gráfico.
Elipse com centro na origem
Passo 1
Beleza! Então, a gente vai resolver o exercício sobre representação gráfica de elipses no plano. A equação que temos é
. Vamos precisar entender a forma canônica das elipses, identificar os focos, vértices, o centro, os eixos maior e menor, a distância focal e a excentricidade. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos ver se essa equação já está na forma canônica de uma elipse. A forma geral da elipse com centro na origem é:
Onde:
-
é o raio maior -
é o raio menor
Vamos comparar com a equação dada:
Podemos dividir ambos os lados por 25 para deixar na forma canônica:
Agora está na forma canônica!
Passo 3
Comparando com a forma canônica, vemos que
e
. Portanto:
Como
, isso significa que a figura que a gente tem aqui não é uma elipse comum, mas sim um círculo, já que os dois eixos são iguais.
Passo 4
Mesmo sendo um círculo, vamos seguir os passos para identificar as características:
- Centro: A equação está na forma
, então o centro é . - Vértices: Como é um círculo, os vértices estão a uma distância
nas direções dos eixos e . Então, os vértices são , , e . - Eixo maior e menor: Ambos têm o mesmo comprimento, que é
, já que . - Focos: Para uma elipse, a distância dos focos é
. Mas aqui, como , . Isso significa que os focos coincidem com o centro. - Excentricidade: A excentricidade
é dada por . Como , . Isso confirma que é um círculo, pois a excentricidade de um círculo é zero.
Passo 5
Agora, vamos construir o gráfico:
Sabendo que o centro é
e o raio é 5, desenhamos um círculo com raio 5 centrado na origem. Os pontos principais são os vértices que mencionamos:
,
,
e
.
Resposta
A equação
representa um círculo com centro na origem
, raio 5. Os vértices estão em
,
,
e
. Ambos os eixos maior e menor têm comprimento 10, os focos coincidem com o centro e a excentricidade é zero.