Apresente dois exemplos de sequências de termos an, satisfazendo simultaneamente as condições abaixo:
(a) lim n infty an=0
(b) sumn=1^infty an diverge.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de sequência e série que envolve limites e a convergência ou divergência de somas infinitas. Precisamos encontrar dois exemplos de sequências an que satisfazem ao mesmo tempo:
(a) limn infty an = 0
(b) A série sumn=1^infty an diverge.
Para isso, vamos utilizar conceitos de limites e séries infinitas, especialmente a noção de séries p que nos ajuda a determinar se uma série converge ou diverge dependendo do valor de p .

Passo 2

Primeiro Exemplo: A Série Harmônica
Vamos considerar a sequência an = 1n .
  1. Verificando o limite:
limn infty 1n = 0
Isso satisfaz a condição (a).
  1. Verificando a divergência da série:
    A série associada é:
sumn=1^infty 1n
Essa é conhecida como a série harmônica, que é uma série p com p = 1 . Sabemos que uma série p diverge quando p <= 1 . Portanto, a série harmônica diverge, satisfazendo a condição (b).

Passo 3

Segundo Exemplo: Série com Expoente 1/2
Vamos agora considerar a sequência an = 1raizn .
  1. Verificando o limite:
limn infty 1raizn = 0
Novamente, isso atende à condição (a).
  1. Verificando a divergência da série:
    A série associada é:
sumn=1^infty 1raizn = sumn=1^infty 1n^1/2
Esta também é uma série p com p = 12 . Como p < 1 , a série diverge de acordo com o teste da série p, atendendo assim à condição (b).

Resposta

Dois exemplos de sequências que satisfazem as condições são:
  1. an = 1n
  2. an = 1raizn

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