Apresente dois exemplos de sequências de termos
, satisfazendo simultaneamente as condições abaixo:
(a)
(b)
diverge.
(a)
(b)
Passo 1
Vamos resolver um exercício de sequência e série que envolve limites e a convergência ou divergência de somas infinitas. Precisamos encontrar dois exemplos de sequências
que satisfazem ao mesmo tempo:
(a)
(b) A série
diverge.
Para isso, vamos utilizar conceitos de limites e séries infinitas, especialmente a noção de séries p que nos ajuda a determinar se uma série converge ou diverge dependendo do valor de
.
Passo 2
Primeiro Exemplo: A Série Harmônica
Vamos considerar a sequência
.
- Verificando o limite:
Isso satisfaz a condição (a).
- Verificando a divergência da série:
A série associada é:
Essa é conhecida como a série harmônica, que é uma série p com
. Sabemos que uma série p diverge quando
. Portanto, a série harmônica diverge, satisfazendo a condição (b).
Passo 3
Segundo Exemplo: Série com Expoente 1/2
Vamos agora considerar a sequência
.
- Verificando o limite:
Novamente, isso atende à condição (a).
- Verificando a divergência da série:
A série associada é:
Esta também é uma série p com
. Como
, a série diverge de acordo com o teste da série p, atendendo assim à condição (b).
Resposta
Dois exemplos de sequências que satisfazem as condições são: