Determine o limite (se existir) da sequência Xn=log (n)n
DICA: Use que forall n in N, raizn<e^raizn

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma sequência Xn = log(n)n e precisamos descobrir o limite dela conforme n cresce sem parar, ou seja, quando n vai para o infinito. Isso tudo faz parte da matéria de cálculo, especificamente no estudo de limites de sequências. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções logarítmica e linear se comportam quando n aumenta bastante.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador log(n) e do denominador n separadamente. Sabemos que, conforme n cresce, o logaritmo de n também cresce, mas de forma bem mais lenta comparado a n mesmo. A dica que temos é que raizn < e^raizn para todo n natural, o que nos dá uma ideia de como funções exponenciais crescem mais rápido que funções polinomiais ou logarítmicas.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa sequência. Observamos que log(n) cresce mais devagar que qualquer potência de n , inclusive raizn . Já que raiznn = 1raizn , que tende a 0 quando n vai para o infinito, e log(n) é ainda menor que raizn , então log(n)n também deve tender a 0.

Resposta

O limite da sequência Xn = log(n)n quando n tende ao infinito é 0.

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