Utilizando o teste da derivada segunda, determine e classifique todos os extremantes locais da função f(x, y)=3 x^4-12 x^3+4 y^3+12 y^2-36 y^2+96 y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar e classificar os pontos onde a função f(x, y) = 3x^4 - 12x^3 + 4y^3 + 12y^2 - 36y^2 + 96y tem extremos locais. Para isso, vamos usar o Teste da Derivada Segunda, que ajuda a determinar se um ponto crítico é máximo, mínimo ou ponto de sela. Vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a x e y , encontrar os pontos críticos e depois aplicar o teste da derivada segunda.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar nossos cálculos. Observamos que temos termos semelhantes em y :
f(x, y) = 3x^4 - 12x^3 + 4y^3 + 12y^2 - 36y^2 + 96y = 3x^4 - 12x^3 + 4y^3 - 24y^2 + 96y

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de f em relação a x e y :
fx = partial fpartial x = 12x^3 - 36x^2
fy = partial fpartial y = 12y^2 - 48y + 96

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema onde as derivadas parciais são iguais a zero:
12x^3 - 36x^2 = 0 12y^2 - 48y + 96 = 0

Passo 5

Vamos resolver a primeira equação para x :
12x^3 - 36x^2 = 0 12x^2(x - 3) = 0
Isso nos dá duas soluções:
x = 0 ou x = 3

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda equação para y :
12y^2 - 48y + 96 = 0 Dividindo todos os termos por 12: y^2 - 4y + 8 = 0
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
y = 4 pm raiz16 - 322 = 4 pm raiz-162
Como temos a raiz quadrada de um número negativo, não há soluções reais para y .

Passo 7

Como não encontramos valores reais para y que satisfaçam a equação fy = 0 , isso significa que não existem pontos críticos reais para a função f(x, y) . Portanto, a função não possui extremos locais no conjunto dos números reais.

Resposta

A função f(x, y) = 3x^4 - 12x^3 + 4y^3 - 24y^2 + 96y não possui extremos locais reais.

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