Apresente a EDO linear homogênea cuja solução geral é:
y = c1 * e^(x) + c2 * x * e^(x) + c3 * e^(-x).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma solução geral de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea, que é dada por:
Isso indica que estamos lidando com uma EDO de terceira ordem (já que temos três constantes de integração). Para resolver, vamos precisar identificar as soluções individuais e a estrutura da EDO a partir delas.

Passo 2

Observando as soluções individuais, vemos que temos e . Cada uma delas corresponde a um valor de na equação característica da EDO. Para , temos e para , temos .
Além disso, o termo indica que é uma raiz múltipla da equação característica. Isso geralmente acontece quando a multiplicidade da raiz é maior que 1, o que adiciona termos multiplicativos na solução geral.

Passo 3

Com base nas raízes encontradas, podemos construir a equação característica da EDO. Como é uma raiz dupla e é uma raiz simples, a equação característica será:

Passo 4

Agora, vamos expandir essa equação característica para obter a forma polinomial completa:
Então, a equação característica é:

Passo 5

A partir da equação característica, podemos escrever a EDO linear homogênea correspondente substituindo por (onde é a n-ésima derivada de ):

Resposta

A EDO linear homogênea é:

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