Apresente a EDO linear homogênea cuja solução geral é:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma solução geral de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea, que é dada por:
Isso indica que estamos lidando com uma EDO de terceira ordem (já que temos três constantes de integração). Para resolver, vamos precisar identificar as soluções individuais e a estrutura da EDO a partir delas.
Passo 2
Observando as soluções individuais, vemos que temos
e
. Cada uma delas corresponde a um valor de
na equação característica da EDO. Para
, temos
e para
, temos
.
Além disso, o termo
indica que
é uma raiz múltipla da equação característica. Isso geralmente acontece quando a multiplicidade da raiz é maior que 1, o que adiciona termos multiplicativos na solução geral.
Passo 3
Com base nas raízes encontradas, podemos construir a equação característica da EDO. Como
é uma raiz dupla e
é uma raiz simples, a equação característica será:
Passo 4
Agora, vamos expandir essa equação característica para obter a forma polinomial completa:
Então, a equação característica é:
Passo 5
A partir da equação característica, podemos escrever a EDO linear homogênea correspondente substituindo
por
(onde
é a n-ésima derivada de
):
Resposta
A EDO linear homogênea é: