Encontre a solução geral do sistema de equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral do sistema
. Isso está relacionado ao estudo de sistemas lineares de equações diferenciais com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar os valores próprios e vetores próprios da matriz, que vão nos ajudar a construir a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz
. Valores próprios são números que nos dizem como os vetores se esticam ou encolhem quando transformados pela matriz.
A equação para encontrar os valores próprios
é dado por:
onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Calculando o determinante:
Então,
Expandindo:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os valores próprios são
e
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Para
:
Resolvemos
:
Isso nos dá as equações:
Podemos escolher
, então
. Então, o vetor próprio é
.
Passo 6
Para
:
Resolvemos
:
Isso nos dá as equações:
Podemos escolher
, então
. Então, o vetor próprio é
.
Passo 7
Com os valores próprios e vetores próprios, a solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada valor próprio:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A solução geral do sistema é
onde
e
são constantes arbitrárias.