Encontre a solução geral do sistema de equações diferenciais. X' = [-1 8; 1 1] X

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais juntos! O enunciado pede para encontrar a solução geral do sistema . Isso está relacionado ao estudo de sistemas lineares de equações diferenciais com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar os valores próprios e vetores próprios da matriz, que vão nos ajudar a construir a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz . Valores próprios são números que nos dizem como os vetores se esticam ou encolhem quando transformados pela matriz.
A equação para encontrar os valores próprios é dado por:
onde é a matriz identidade.

Passo 3

Calculando o determinante:
Então,
Expandindo:

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática:
Então, os valores próprios são e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada valor próprio.
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá as equações:
Podemos escolher , então . Então, o vetor próprio é .

Passo 6

Para :
Resolvemos :
Isso nos dá as equações:
Podemos escolher , então . Então, o vetor próprio é .

Passo 7

Com os valores próprios e vetores próprios, a solução geral do sistema é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada valor próprio:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A solução geral do sistema é
onde e são constantes arbitrárias.

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