Encontre a solução geral do sistema de equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que é dado por
. Aqui, estamos lidando com um sistema linear de duas equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar os autovalores e os autovetores da matriz dos coeficientes, o que vai nos ajudar a montar a solução geral do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Para isso, a gente resolve a equação característica
, onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores.
Passo 3
Calculando o determinante:
Então, temos
, que resolve para
. Os autovalores são complexos,
e
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a
. Substituindo na equação
:
Resolvendo, encontramos que
.
Passo 5
Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. Como os autovalores são complexos, a solução será em termos de funções trigonométricas usando a forma de Euler:
No nosso caso,
,
, e
.
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.