Encontre a solução geral do sistema de equações diferenciais. X' = [0 2; -2 0] X

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que é dado por . Aqui, estamos lidando com um sistema linear de duas equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar os autovalores e os autovetores da matriz dos coeficientes, o que vai nos ajudar a montar a solução geral do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Para isso, a gente resolve a equação característica , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 3

Calculando o determinante:
Então, temos , que resolve para . Os autovalores são complexos, e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a . Substituindo na equação :
Resolvendo, encontramos que .

Passo 5

Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. Como os autovalores são complexos, a solução será em termos de funções trigonométricas usando a forma de Euler:
No nosso caso, , , e .

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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