Uma bola de 60 kg está suspensa de uma mola, distendendo-a em 0.6 m além de seu comprimento natural. Põe-se a bola em movimento, sem velocidade inicial, deslocando-a de 0,15 m acima da posição de equilíbrio. Desprezando a resistência do ar, determine (a) a posição da bola no instante t e (b) sua posição em t = pi / 12 s.

Passo 1

Então, temos uma bola de 60 kg pendurada em uma mola que se estende 0,6 metros além do seu comprimento natural. A gente quer descobrir como a bola se move ao longo do tempo depois de ser puxada 0,15 metros para cima da posição de equilíbrio. Vamos usar conceitos de mecânica e movimento harmônico simples para resolver isso. Para isso, vamos precisar entender a força da mola, a força da gravidade e como elas afetam o movimento da bola.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a constante elástica da mola, que é uma medida de quão rígida a mola é. Sabemos que a força da mola na posição de equilíbrio é igual ao peso da bola. A fórmula que usamos aqui é a Lei de Hooke:
Onde:
  • é a força (peso da bola),
  • é a constante da mola,
  • é a deformação da mola.
Aqui, o peso , com e ².

Passo 3

Vamos calcular o peso da bola:
²
Agora, usando a Lei de Hooke para encontrar :

Passo 4

Com a constante da mola, podemos encontrar a frequência angular do movimento harmônico simples. A fórmula é:
Substituindo os valores:

Passo 5

Sabemos que a posição da bola em função do tempo pode ser descrita por:
í
Onde:
  • é a amplitude do movimento (0,15 m),
  • é a frequência angular,
  • í é a posição de equilíbrio.
Como a bola foi puxada para cima, a posição de equilíbrio é considerada zero, então:

Resposta

(a) A posição da bola no instante é dada por:
(b) Para :
Então, a posição da bola em é aproximadamente 0,073 metros acima da posição de equilíbrio.

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