Uma bola de 60 kg está suspensa de uma mola, distendendo-a em
além de seu comprimento natural. Põe-se a bola em movimento, sem velocidade inicial, deslocando-a de 0,15 m acima da posição de equilíbrio. Desprezando a resistência do ar, determine (a) a posição da bola no instante t e (b) sua posição
.
Passo 1
Então, temos uma bola de 60 kg pendurada em uma mola que se estende 0,6 metros além do seu comprimento natural. A gente quer descobrir como a bola se move ao longo do tempo depois de ser puxada 0,15 metros para cima da posição de equilíbrio. Vamos usar conceitos de mecânica e movimento harmônico simples para resolver isso. Para isso, vamos precisar entender a força da mola, a força da gravidade e como elas afetam o movimento da bola.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a constante elástica da mola, que é uma medida de quão rígida a mola é. Sabemos que a força da mola na posição de equilíbrio é igual ao peso da bola. A fórmula que usamos aqui é a Lei de Hooke:
Onde:
-
é a força (peso da bola), -
é a constante da mola, -
é a deformação da mola.
Aqui, o peso
, com
e
.
Passo 3
Vamos calcular o peso da bola:
Agora, usando a Lei de Hooke para encontrar
:
Passo 4
Com a constante da mola, podemos encontrar a frequência angular
do movimento harmônico simples. A fórmula é:
Substituindo os valores:
Passo 5
Sabemos que a posição da bola em função do tempo pode ser descrita por:
Onde:
-
é a amplitude do movimento (0,15 m), -
é a frequência angular, -
é a posição de equilíbrio.
Como a bola foi puxada para cima, a posição de equilíbrio é considerada zero, então:
Resposta
(a) A posição da bola no instante
é dada por:
(b) Para
:
Então, a posição da bola em
é aproximadamente 0,073 metros acima da posição de equilíbrio.