Encontre a solução geral do sistema de equações diferenciais.
Passo 1
Vamos entender o enunciado: precisamos encontrar a solução geral do sistema de equações diferenciais dado por
. Isso envolve resolver um sistema linear de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz
. Para isso, calculamos o determinante de
e igualamos a zero, onde
é a matriz identidade e
representa os autovalores.
Passo 3
Calculando
:
O determinante é:
Expandindo:
Então:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Como a raiz é negativa, os autovalores são complexos:
Passo 5
Com os autovalores complexos
, a solução geral do sistema envolve funções exponenciais e trigonométricas. A forma geral para soluções com autovalores complexos é:
onde
e
, e
é o vetor correspondente.
Passo 6
Agora, encontramos o autovetor associado a
. Substituímos
na matriz
:
Resolvemos
:
Multiplicando numerador e denominador por
para racionalizar:
Assumindo
, temos
.
Passo 7
Finalmente, escrevemos a solução geral combinando as funções exponenciais e trigonométricas com os vetores encontrados:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Resposta
A solução geral do sistema é:
onde
e
são constantes arbitrárias.