Encontre a solução geral do sistema de equações diferenciais. X' = [[4 5] [-2 6]] X

Passo 1

Vamos entender o enunciado: precisamos encontrar a solução geral do sistema de equações diferenciais dado por . Isso envolve resolver um sistema linear de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz dos coeficientes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Para isso, calculamos o determinante de e igualamos a zero, onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 3

Calculando :
O determinante é:
Expandindo:
Então:

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Como a raiz é negativa, os autovalores são complexos:

Passo 5

Com os autovalores complexos , a solução geral do sistema envolve funções exponenciais e trigonométricas. A forma geral para soluções com autovalores complexos é:
onde e , e é o vetor correspondente.

Passo 6

Agora, encontramos o autovetor associado a . Substituímos na matriz :
Resolvemos :
Multiplicando numerador e denominador por para racionalizar:
Assumindo , temos .

Passo 7

Finalmente, escrevemos a solução geral combinando as funções exponenciais e trigonométricas com os vetores encontrados:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A solução geral do sistema é:
onde e são constantes arbitrárias.

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