Apresente a EDO linear homogênea cuja solução geral é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea cuja solução geral seja
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e como as soluções gerais são formadas a partir das raízes da equação característica.
Passo 2
Primeiro, observe que a solução geral dada é uma combinação linear de duas funções: uma constante
e uma função exponencial
. Isso sugere que as soluções da EDO estão associadas a raízes da equação característica.
Passo 3
A equação característica de uma EDO linear homogênea de segunda ordem tem a forma
. As soluções dessa equação,
e
, determinam a forma da solução geral da EDO:
- Se as raízes são reais e distintas, a solução geral é
. - Se houver uma raiz dupla, a solução é
.
Passo 4
No seu caso, a solução geral é
. Isso indica que uma das raízes é
(pois
, que corresponde ao termo constante
) e a outra raiz é
.
Passo 5
Agora, vamos montar a equação característica com essas raízes:
Passo 6
Portanto, a equação característica é
. Isso nos leva à EDO correspondente substituindo os coeficientes na forma padrão da EDO de segunda ordem:
Resposta
A EDO linear homogênea cuja solução geral é
é: