Apresente a EDO linear homogênea cuja solução geral é:
y = c1 + e^(4 x) c2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea cuja solução geral seja . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e como as soluções gerais são formadas a partir das raízes da equação característica.

Passo 2

Primeiro, observe que a solução geral dada é uma combinação linear de duas funções: uma constante e uma função exponencial . Isso sugere que as soluções da EDO estão associadas a raízes da equação característica.

Passo 3

A equação característica de uma EDO linear homogênea de segunda ordem tem a forma . As soluções dessa equação, e , determinam a forma da solução geral da EDO:
  • Se as raízes são reais e distintas, a solução geral é .
  • Se houver uma raiz dupla, a solução é .

Passo 4

No seu caso, a solução geral é . Isso indica que uma das raízes é (pois , que corresponde ao termo constante ) e a outra raiz é .

Passo 5

Agora, vamos montar a equação característica com essas raízes:

Passo 6

Portanto, a equação característica é . Isso nos leva à EDO correspondente substituindo os coeficientes na forma padrão da EDO de segunda ordem:

Resposta

A EDO linear homogênea cuja solução geral é é:

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