Encontre a solução geral do sistema de equações diferenciais. x1'(t) = -x1(t) - 4*x2(t) ; x2'(t) = x1(t) - x2(t)

Passo 1

Beleza, temos um sistema de equações diferenciais de primeira ordem. Nosso objetivo é encontrar a solução geral desse sistema. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial. Isso facilita bastante para aplicar os métodos de álgebra linear. Nosso sistema é:
Podemos escrever isso como:
Onde:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz A. Para isso, resolvemos a equação característica:
Calculando:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são:

Passo 4

Com os autovalores encontrados, vamos determinar os autovetores correspondentes. Vamos usar um dos autovalores, por exemplo, .
Resolvemos o sistema :
Da primeira linha:
Escolhendo , temos o autovetor:

Passo 5

Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. Quando temos autovalores complexos da forma e um autovetor , a solução geral é:
Aplicando isso ao nosso caso:
Então:
Simplificando:

Resposta

A solução geral do sistema de equações diferenciais é:
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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