Encontre a solução geral do sistema de equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, temos um sistema de equações diferenciais de primeira ordem. Nosso objetivo é encontrar a solução geral desse sistema. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial. Isso facilita bastante para aplicar os métodos de álgebra linear. Nosso sistema é:
Podemos escrever isso como:
Onde:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz A. Para isso, resolvemos a equação característica:
Calculando:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os autovalores são:
Passo 4
Com os autovalores encontrados, vamos determinar os autovetores correspondentes. Vamos usar um dos autovalores, por exemplo,
.
Resolvemos o sistema
:
Da primeira linha:
Escolhendo
, temos o autovetor:
Passo 5
Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. Quando temos autovalores complexos da forma
e um autovetor
, a solução geral é:
Aplicando isso ao nosso caso:
Então:
Simplificando:
Resposta
A solução geral do sistema de equações diferenciais é:
Onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.