Resolva pelo Método dos Coeficientes a Determinar.
.
Passo 1
Beleza, a gente tem aqui uma equação diferencial do segundo grau:
. O conteúdo que vamos usar para resolver isso é o Método dos Coeficientes a Determinar, que serve para encontrar soluções particulares quando o lado direito da equação é um polinômio, exponencial, seno ou cosseno. Vamos precisar identificar as soluções da equação homogênea associada e depois propor uma solução particular adequada para os termos
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, encontramos a equação característica:
. Resolvendo essa equação quadrática, temos:
Portanto, as raízes são
e
. Assim, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a solução particular
para a equação completa. Como o lado direito é a soma de
e
, vamos encontrar soluções particulares para cada termo separadamente e depois somá-las.
Passo 4
Para o termo
, como é um polinômio de grau 2, propomos uma solução particular da forma:
Passo 5
Vamos derivar
para substituir na equação:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Agrupando os termos por potências de
:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de termos semelhantes devem ser iguais:
Então, a solução particular para
é:
Passo 6
Agora, para o termo
, observamos que
já é uma solução da equação homogênea (
contém
). Por isso, precisamos multiplicar por
para garantir que a solução particular seja linearmente independente. Propomos:
Passo 7
Derivando
:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular para
é:
Passo 8
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com as soluções particulares encontradas:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: