Resolva pelo Método dos Coeficientes a Determinar.
y'' + y' - 2y = x^2 + e^x.

Passo 1

Beleza, a gente tem aqui uma equação diferencial do segundo grau: . O conteúdo que vamos usar para resolver isso é o Método dos Coeficientes a Determinar, que serve para encontrar soluções particulares quando o lado direito da equação é um polinômio, exponencial, seno ou cosseno. Vamos precisar identificar as soluções da equação homogênea associada e depois propor uma solução particular adequada para os termos e .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos a equação característica: . Resolvendo essa equação quadrática, temos:
Portanto, as raízes são e . Assim, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a solução particular para a equação completa. Como o lado direito é a soma de e , vamos encontrar soluções particulares para cada termo separadamente e depois somá-las.

Passo 4

Para o termo , como é um polinômio de grau 2, propomos uma solução particular da forma:

Passo 5

Vamos derivar para substituir na equação:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Agrupando os termos por potências de :
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes de termos semelhantes devem ser iguais:
Então, a solução particular para é:

Passo 6

Agora, para o termo , observamos que já é uma solução da equação homogênea ( contém ). Por isso, precisamos multiplicar por para garantir que a solução particular seja linearmente independente. Propomos:

Passo 7

Derivando :
Substituindo na equação:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular para é:

Passo 8

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com as soluções particulares encontradas:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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