Encontre a solução geral do sistema de equações diferenciais. x1'(t) = x1(t) + 2 * x2(t) ; x2'(t) = 4 * x1(t) + 3 * x2(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um sistema de equações diferenciais:
O que precisamos encontrar é a solução geral desse sistema. Para resolver isso, vamos usar matrizes e autovalores, que são ferramentas da álgebra linear que nos ajudam a entender como sistemas desse tipo se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial. Isso significa representar as equações de forma compacta usando matrizes:
Onde:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores ( ) são encontrados resolvendo a equação característica:
Onde é a matriz identidade. Vamos calcular isso:
Simplificando:

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática , usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são:

Passo 5

Com os autovalores encontrados, precisamos achar os autovetores correspondentes a cada . Vamos começar com .
Resolvendo :
Da primeira equação:
Então, podemos escolher , então . Portanto, o autovetor é:

Passo 6

Agora, encontramos o autovetor para .
Resolvendo :
Da primeira equação:
Escolhendo , temos . Então, o autovetor é:

Passo 7

Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. Cada solução é da forma:
Substituindo os valores encontrados:

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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