Encontre a solução geral do sistema de equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um sistema de equações diferenciais:
O que precisamos encontrar é a solução geral desse sistema. Para resolver isso, vamos usar matrizes e autovalores, que são ferramentas da álgebra linear que nos ajudam a entender como sistemas desse tipo se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial. Isso significa representar as equações de forma compacta usando matrizes:
Onde:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores (
) são encontrados resolvendo a equação característica:
Onde
é a matriz identidade. Vamos calcular isso:
Simplificando:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são:
Passo 5
Com os autovalores encontrados, precisamos achar os autovetores correspondentes a cada
. Vamos começar com
.
Resolvendo
:
Da primeira equação:
→
Então, podemos escolher
, então
. Portanto, o autovetor é:
Passo 6
Agora, encontramos o autovetor para
.
Resolvendo
:
Da primeira equação:
→
Escolhendo
, temos
. Então, o autovetor é:
Passo 7
Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema. Cada solução é da forma:
Substituindo os valores encontrados:
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.