Apresente a EDO linear homogênea cuja solução geral é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea cuja solução geral seja . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre EDOs de coeficientes constantes e como relacionar a solução geral com a equação original.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes, a solução geral está ligada às raízes da equação característica. A forma da solução que você deu sugere que as raízes são complexas, já que temos funções seno e cosseno multiplicadas por uma exponencial.
Passo 3
A solução geral indica que as raízes da equação característica são complexas conjugadas da forma
. Aqui,
é a parte real e
é a parte imaginária.
Passo 4
Com as raízes
, podemos escrever a equação característica associada a essas raízes. A equação característica para raízes complexas
é
. No nosso caso,
e
.
Passo 5
Substituindo esses valores na equação característica, temos:
Expandindo o quadrado:
Passo 6
Agora que temos a equação característica
, podemos relacioná-la com a EDO original. A equação característica vem de uma EDO do tipo:
Onde
e
são os coeficientes que queremos encontrar.
Passo 7
Comparando a equação característica com a forma geral
, vemos que:
Passo 8
Portanto, a EDO linear homogênea correspondente é:
Resposta
A EDO linear homogênea cuja solução geral é é: