Apresente a EDO linear homogênea cuja solução geral é:
y = e^(-x) (A cos(x) + B sen(x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea cuja solução geral seja . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre EDOs de coeficientes constantes e como relacionar a solução geral com a equação original.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes, a solução geral está ligada às raízes da equação característica. A forma da solução que você deu sugere que as raízes são complexas, já que temos funções seno e cosseno multiplicadas por uma exponencial.

Passo 3

A solução geral indica que as raízes da equação característica são complexas conjugadas da forma . Aqui, é a parte real e é a parte imaginária.

Passo 4

Com as raízes , podemos escrever a equação característica associada a essas raízes. A equação característica para raízes complexas é . No nosso caso, e .

Passo 5

Substituindo esses valores na equação característica, temos:
Expandindo o quadrado:

Passo 6

Agora que temos a equação característica , podemos relacioná-la com a EDO original. A equação característica vem de uma EDO do tipo:
Onde e são os coeficientes que queremos encontrar.

Passo 7

Comparando a equação característica com a forma geral , vemos que:

Passo 8

Portanto, a EDO linear homogênea correspondente é:

Resposta

A EDO linear homogênea cuja solução geral é é:

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