Apresente a EDO linear homogênea cuja solução geral é:
y = e^(4 x) (c1 + c2 x);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea cuja solução geral é . Isso envolve entender um pouco sobre equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes e como relacionar a solução geral com a equação correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, a solução geral tem a forma:
Nesse caso, é a raiz dupla da equação característica associada à EDO. Comparando com a solução dada , vemos que . Isso significa que a equação característica tem uma raiz dupla igual a 4.

Passo 3

A equação característica para uma EDO de segunda ordem é obtida assumindo uma solução da forma . Substituindo isso na EDO genérica , obtemos a equação quadrática:
Sabemos que é uma raiz dupla, então a equação característica deve ser:
Expandindo isso, temos:

Passo 4

Agora que temos a equação característica expandida, podemos relacioná-la com os coeficientes da EDO. A equação característica é:
Isso corresponde à EDO:

Passo 5

Portanto, a EDO linear homogênea cuja solução geral é é:

Resposta

A equação diferencial é .

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