Apresente a EDO linear homogênea cuja solução geral é:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear homogênea cuja solução geral é
. Isso envolve entender um pouco sobre equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes e como relacionar a solução geral com a equação correspondente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, a solução geral tem a forma:
Nesse caso,
é a raiz dupla da equação característica associada à EDO. Comparando com a solução dada
, vemos que
. Isso significa que a equação característica tem uma raiz dupla igual a 4.
Passo 3
A equação característica para uma EDO de segunda ordem é obtida assumindo uma solução da forma
. Substituindo isso na EDO genérica
, obtemos a equação quadrática:
Sabemos que
é uma raiz dupla, então a equação característica deve ser:
Expandindo isso, temos:
Passo 4
Agora que temos a equação característica expandida, podemos relacioná-la com os coeficientes da EDO. A equação característica é:
Isso corresponde à EDO:
Passo 5
Portanto, a EDO linear homogênea cuja solução geral é
é:
Resposta
A equação diferencial é
.