Verifique se as funções são LI ou LD no intervalo I. ;
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para verificar se as funções , e são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD) no intervalo . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre independência linear de funções e utilizar o Wronskiano, uma ferramenta matemática que ajuda nessa verificação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa duas funções serem linearmente independentes ou dependentes. Se nenhuma das funções pode ser escrita como uma combinação linear das outras, elas são linearmente independentes (LI). Caso contrário, se pelo menos uma função puder ser expressa como combinação das demais, elas são linearmente dependentes (LD).
Passo 3
Para verificar a independência linear das funções e , podemos usar o Wronskiano. O Wronskiano para duas funções é definido como:
Onde e são as derivadas das funções e respectivamente.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas das funções:
Passo 5
Agora, montamos o Wronskiano:
Calculando o determinante:
Passo 6
O Wronskiano deu zero, o que sugere que as funções e são linearmente dependentes (LD) no intervalo considerado.
Passo 7
Para confirmar, vamos ver se uma função pode ser escrita como múltiplo da outra:
Isso mostra claramente que é um múltiplo de , confirmando que as funções são linearmente dependentes.
Resposta
As funções , e são linearmente dependentes no intervalo .