Encontre a solução geral do sistema de equações diferenciais. 
 
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que liga 
  e 
 . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre sistemas lineares de equações diferenciais, especialmente usando autovalores e autovetores para encontrar a solução geral. Então, vamos precisar montar a matriz do sistema, encontrar seus autovalores e autovetores para montar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial. O sistema dado é:
Podemos representar isso como:
onde
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz 
 . Para isso, resolvemos a equação característica:
Calculando:
Expandindo:
Então, resolvemos:
As soluções s��o:
Passo 4
Com os autovalores encontrados, vamos achar os autovetores correspondentes.
Para 
 :
Resolvemos 
 :
Isso nos dá a equação:
Podemos escolher 
 , então 
 .
Para 
 :
Resolvemos 
 :
Isso nos dá a equação:
Escolhendo 
 , temos 
 .
Passo 5
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada autovalor:
Substituindo os valores encontrados:
Resposta
A solução geral do sistema é:
onde 
  e 
  são constantes arbitrárias.