Encontre a solução geral do sistema de equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que liga
e
. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre sistemas lineares de equações diferenciais, especialmente usando autovalores e autovetores para encontrar a solução geral. Então, vamos precisar montar a matriz do sistema, encontrar seus autovalores e autovetores para montar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial. O sistema dado é:
Podemos representar isso como:
onde
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz
. Para isso, resolvemos a equação característica:
Calculando:
Expandindo:
Então, resolvemos:
As soluções s��o:
Passo 4
Com os autovalores encontrados, vamos achar os autovetores correspondentes.
Para
:
Resolvemos
:
Isso nos dá a equação:
Podemos escolher
, então
.
Para
:
Resolvemos
:
Isso nos dá a equação:
Escolhendo
, temos
.
Passo 5
Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada autovalor:
Substituindo os valores encontrados:
Resposta
A solução geral do sistema é:
onde
e
são constantes arbitrárias.