Encontre a solução geral do sistema de equações diferenciais. x1'(t) = x1(t) - x2(t) ; x2'(t) = 2*x1(t) + 4*x2(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que liga e . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre sistemas lineares de equações diferenciais, especialmente usando autovalores e autovetores para encontrar a solução geral. Então, vamos precisar montar a matriz do sistema, encontrar seus autovalores e autovetores para montar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma matricial. O sistema dado é:
Podemos representar isso como:
onde

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os autovalores da matriz . Para isso, resolvemos a equação característica:
Calculando:
Expandindo:
Então, resolvemos:
As soluções s��o:

Passo 4

Com os autovalores encontrados, vamos achar os autovetores correspondentes.
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá a equação:
Podemos escolher , então .
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá a equação:
Escolhendo , temos .

Passo 5

Com os autovalores e autovetores em mãos, podemos escrever a solução geral do sistema. A solução é uma combinação linear das soluções correspondentes a cada autovalor:
Substituindo os valores encontrados:

Resposta

A solução geral do sistema é:
onde e são constantes arbitrárias.

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