Encontre a solução geral do sistema de equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, temos um sistema de equações diferenciais dado por
. Vamos resolver isso utilizando conceitos de álgebra linear, especificamente encontrando os autovalores e autovetores da matriz para montar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Sabemos que os autovalores
são as raízes da equação característica
, onde
é a matriz identidade.
Para nossa matriz
, a equação fica:
Calculando o determinante:
Então, os autovalores são:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para
:
Resolvemos
:
Isso nos dá o sistema:
Daí,
e
é livre. Podemos escolher
, então o autovetor é:
Para
:
Resolvemos
:
O sistema é:
Isso leva a
. Podemos escolher
, então o autovetor é:
Passo 4
Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema. Cada solução é da forma
, onde
é uma constante.
Assim, a solução geral é: