Encontre a solução geral do sistema de equações diferenciais. X' = matriz([-1, -2; 0, -2]) X

Passo 1

Beleza, temos um sistema de equações diferenciais dado por . Vamos resolver isso utilizando conceitos de álgebra linear, especificamente encontrando os autovalores e autovetores da matriz para montar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Sabemos que os autovalores são as raízes da equação característica , onde é a matriz identidade.
Para nossa matriz , a equação fica:
Calculando o determinante:
Então, os autovalores são:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá o sistema:
Daí, e é livre. Podemos escolher , então o autovetor é:
Para :
Resolvemos :
O sistema é:
Isso leva a . Podemos escolher , então o autovetor é:

Passo 4

Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema. Cada solução é da forma , onde é uma constante.
Assim, a solução geral é:

Resposta

Exercícios relacionados