Apresente a equação da reta y=a x+b que melhor se ajusta aos pontos (0,0), (1,2),(2,1),(3,2), ou seja, encontre os coeficientes a e b de forma a minimizar o erro quadrático cometido nesta aproximação.

Passo 1

O enunciado fornece quatro pontos (0,0), (1,2), (2,1) e (3,2) e pede a reta y = a x + b que minimiza o erro quadrático. O conteúdo aqui é ajuste linear por mínimos quadrados, em que usamos fórmulas que expressam a e b em função das somas dos dados.

Passo 2

As fórmulas de mínimos quadrados para ajustar a reta y = a x + b a n pontos (x_i,y_i) são
a = \frac{n\sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2},
b = \frac{\sum y_i - a \sum x_i}{n}.

Passo 3

Para os pontos dados ( n=4) calculamos:
\sum x_i = 0 + 1 + 2 + 3 = 6,
\sum y_i = 0 + 2 + 1 + 2 = 5,
\sum x_i y_i = 0\cdot0 + 1\cdot2 + 2\cdot1 + 3\cdot2 = 10,
\sum x_i^2 = 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 = 14.

Passo 4

Substituindo nas fórmulas:
a = \frac{4\cdot10 - 6\cdot5}{4\cdot14 - 6^2} = \frac{40 - 30}{56 - 36} = \frac{10}{20} = 0{,}5,
b = \frac{5 - 0{,}5\cdot6}{4} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0{,}5.

Resposta

A reta que melhor se ajusta aos pontos é
y = 0{,}5x + 0{,}5.

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