Determine os valores de x para os quais a matriz abaixo não seja inversível:
A=\left[\begin{array}{lll} 2 & x & 1 \\\\ 0 & x & 1 \\\ x & 9 & x \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede os valores de x tais que a matriz
A=\begin{pmatrix} 2 & x & 1\\\\ 0 & x & 1\\\ x & 9 & x \end{pmatrix}
não seja inversível. Isso acontece exatamente quando \det(A)=0. Vamos calcular o determinante de A por expansão de Laplace na primeira linha.

Passo 2

Escrevendo a expansão de Laplace pela primeira linha, temos
\det(A) =2\cdot \det\!\begin{pmatrix}x & 1\\\ 9 & x\end{pmatrix} - x\cdot \det\!\begin{pmatrix}0 & 1\x & x\end{pmatrix} +1\cdot \det\!\begin{pmatrix}0 & x\x & 9\end{pmatrix}.

Passo 3

Vamos calcular cada um dos menores:
\det\!\begin{pmatrix}x & 1\\\ 9 & x\end{pmatrix} = x\cdot x - 9\cdot1 = x^2 - 9,
\det\!\begin{pmatrix}0 & 1\x & x\end{pmatrix} = 0\cdot x - 1\cdot x = -x,
\det\!\begin{pmatrix}0 & x\x & 9\end{pmatrix} = 0\cdot9 - x\cdot x = -x^2.

Passo 4

Substituindo esses valores na expressão de \det(A):
\det(A) =2(x^2-9) - x(-x) +1(-x^2) =2x^2 -18 + x^2 - x^2 =2x^2 -18 =2\,(x^2 - 9).

Passo 5

Para a matriz não ser inversível, precisamos de \det(A)=0. Assim,
2\,(x^2-9)=0 \quad\Longrightarrow\quad x^2-9=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm 3.

Resposta

Os valores de x que tornam A não inversível são
x = 3 \quad\text{e}\quad x = -3.

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