Considere a forma quadrática abaixo:
\begin{gathered} Q: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \\\ Q\left(x_{1}, x_{2}\right)=3 x_{1}^{2}+8 x_{1} x_{2}-3 x_{2}^{2} . \end{gathered}
Vamos analisá-la usando conceitos de Álgebra Linear, para isso responda os itens abaixo:
Representação matricial
a) Apresente a matriz
A tal que
Q(\vec{x})=\vec{x}^{T} A \vec{x};
Autovalores e autovetores
b) Encontre os autovalores da matriz
A encontrada no item a);
c) Encontre os autovetores associados aos autovalores encontrados acima. Sugestão: denote-os por
\vec{v}_{1} e
\vec{v}_{2}.
Base ortonormal
d) Calcule a norma dos autovetores encontrados no item c). E, se eles não tiverem norma 1, normalize-os. Sugestão: denote-os por
\vec{u}_{1} e
\vec{u}_{2} os autovetores com norma 1.
e) O conjunto
\mathcal{B}=\left\{\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}\right\}, formado pelos autovetores de
A normalizados, é uma base ortonormal de
\mathbb{R}^{2} ? Justifique.
Diagonalização e mudança de variáveis
f) A matriz
A encontrada no item a) é diagonalizável? Se for, diagonalize esta matriz, ou seja, apresente uma matriz diagonal
D e uma matriz
P, sua inversa
P^{-1} tal que
A=P D P^{-1}.
g) No caso de A ser diagonalizável, a matriz
P obtida acima é ortogonal? Justifique.
h) Obtenha novas variáveis
y_{1} e
y_{2} tais que quando escrevemos
x_{1} e
x_{2} em função delas a forma quadrática obtida não tem termos mistos. Escreva a expressão da forma quadrática nas novas coordenadas e apresente as expressões de
x_{1} e
x_{2} em função das novas variáveis
y_{1} e
y_{2}. Sugestão: use
\vec{x}=P \vec{y}.
i) Classifique as curvas de nível desta forma quadrática.
j) Qual o valor mínimo e o valor máximo de que
Q nos pontos que satisfazem a condição
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=1.