Dados os vetores \vec{w}=(1,1,3) e \vec{v}=(1,-1,1). Calcule \vec{u}=\operatorname{proj}_{\vec{w}} \vec{v}. Encontre um vetor ortogonal à \vec{w}

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec w=(1,1,3) e \vec v=(1,-1,1) e pede (1) a projeção de \vec v sobre \vec w, que usa produto escalar e fórmula de projeção, e (2) um vetor ortogonal a \vec w.

Passo 2

Calcular os produtos escalares necessários.
\vec v\cdot\vec w = 1\cdot1 + (-1)\cdot1 + 1\cdot3 = 1 - 1 + 3 = 3.
\vec w\cdot\vec w = 1^2 + 1^2 + 3^2 = 1 + 1 + 9 = 11.

Passo 3

Aplicar a fórmula da projeção
\vec u = \mathrm{proj}_{\vec w}\,\vec v = \frac{\vec v\cdot\vec w}{\vec w\cdot\vec w}\,\vec w = \frac{3}{11}\,\vec w = \left(\frac{3}{11},\frac{3}{11},\frac{9}{11}\right).

Passo 4

Obter um vetor ortogonal a \vec w extraindo a componente de \vec v perpendicular a \vec w, ou seja
\vec v - \vec u = \left(1,-1,1\right) - \left(\frac{3}{11},\frac{3}{11},\frac{9}{11}\right) = \left(\frac{8}{11},-\frac{14}{11},\frac{2}{11}\right).

Passo 5

Verificar ortogonalidade:
(\vec v - \vec u)\cdot \vec w = \frac{8}{11}\cdot1 + \bigl(-\tfrac{14}{11}\bigr)\cdot1 + \frac{2}{11}\cdot3 = \frac{8 - 14 + 6}{11} = 0,
logo \vec v - \vec u é mesmo ortogonal a \vec w.

Resposta

\displaystyle \vec u = \left(\frac{3}{11},\frac{3}{11},\frac{9}{11}\right).
Um vetor ortogonal a \vec w é \displaystyle \left(\frac{8}{11},-\frac{14}{11},\frac{2}{11}\right).

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