Apresente um esboço das superfícies z
=f(x, y).
f(x, y)=x{2}+y{2}
=f(x, y).
f(x, y)=x{2}+y{2}
Passo 1
O enunciado pede o esboço da superfície
. O conteúdo é geometria de superfícies quadricas, em particular um paraboloide elíptico circular. Vamos usar curvas de nível e seções transversais para construir o esboço.
Passo 2
Curvas de nível emerso no plano horizontal: para cada constante
,
que são círculos de raio
contidos no plano
.
Passo 3
Seções transversais em planos coordenados:
Em ambos os casos surgem parábolas que se abrem para cima com vértice na origem.
Passo 4
Unindo os círculos concêntricos (curvas de nível) e as parábolas (seções em
e
), obtemos uma “taça” simétrica em
e
cujo vértice está em
e cujas “paredes” sobem quadráticamente.
Passo 5
Para esboçar: desenhe os eixos
,
,
; em vários valores de
desenhe círculos de raio
paralelos ao plano
nos níveis
; depois ligue suavemente esses círculos formando a superfície.
Resposta
A superfície é um paraboloide elíptico circular de vértice em
, que pode ser esboçado como uma “taça” formada por círculos concêntricos de raio
no plano
.