Apresente um esboço das superfícies z
=f(x, y).
f(x, y)=x{2}+y{2}

Passo 1

O enunciado pede o esboço da superfície \displaystyle z = f(x,y) = x^{2} + y^{2}. O conteúdo é geometria de superfícies quadricas, em particular um paraboloide elíptico circular. Vamos usar curvas de nível e seções transversais para construir o esboço.

Passo 2

Curvas de nível emerso no plano horizontal: para cada constante c\ge0,
x^{2}+y^{2}=c,\quad z=c,
que são círculos de raio \sqrt{c} contidos no plano z=c.

Passo 3

Seções transversais em planos coordenados:
\text{Plano }y=0:\quad z = x^{2},
\text{Plano }x=0:\quad z = y^{2}.
Em ambos os casos surgem parábolas que se abrem para cima com vértice na origem.

Passo 4

Unindo os círculos concêntricos (curvas de nível) e as parábolas (seções em x=0 e y=0), obtemos uma “taça” simétrica em x e y cujo vértice está em (0,0,0) e cujas “paredes” sobem quadráticamente.

Passo 5

Para esboçar: desenhe os eixos x, y, z; em vários valores de c>0 desenhe círculos de raio \sqrt{c} paralelos ao plano xy nos níveis z=c; depois ligue suavemente esses círculos formando a superfície.

Resposta

A superfície é um paraboloide elíptico circular de vértice em (0,0,0), que pode ser esboçado como uma “taça” formada por círculos concêntricos de raio \sqrt{c} no plano z=c.

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