Apresente um esboço das superfícies z
=f(x, y).
f(x, y)=4 x{2}+y{2}

Passo 1

O enunciado pede o esboço da superfície definida por
z = f(x,y) = 4x^{2} + y^{2}
O conteúdo usado é geometria de superfícies de funções de duas variáveis. Para esboçar vamos:
  1. obter curvas de nível 4x^{2}+y^{2}=k,
  2. examinar cortes planos (seções por planos y=0 e x=0),
  3. combinar essas informações para inferir a forma geral.

Passo 2

Curvas de nível são dadas por
4x^{2} + y^{2} = k,\quad k\ge0.
Cada k fixa uma elipse centrada na origem, com semi-eixos
a = \sqrt{\frac{k}{4}},\quad b = \sqrt{k}.
Por exemplo: k=1 \implies elipse com semi-eixos (\tfrac12,1). k=4 \implies elipse com semi-eixos (1,2).
À medida que k cresce, as elipses “abrem” uniformemente.

Passo 3

Seções por planos retos:
  1. Plano y=0:
z = 4x^{2},
que é uma parábola abrindo para cima no plano xz.
2. Plano x=0:
z = y^{2},
que é uma parábola mais “larga” no plano yz.
Isso mostra que a curvatura em direção ao eixo x é maior (coeficiente 4) do que em direção a y.

Passo 4

Com as curvas de nível elípticas e as parábolas nos cortes principais, concluímos que a superfície é um paraboloide elíptico que abre para cima, sendo mais “estreito” no eixo x e mais “largo” no eixo y. Para esboçar em perspectiva:
  1. Desenhe os eixos x, y, z ortogonais.
  2. Marque algumas elipses no plano horizontal (curvas de nível).
  3. Trace as parábolas nos planos y=0 e x=0.
  4. Una suavemente esses esboços para formar a casca paraboloidal.

Resposta

A superfície é um paraboloide elíptico definido por
z = 4x^{2} + y^{2},
com curvas de nível elipses de equação 4x^{2}+y^{2}=k e cortes parabólicos nos planos y=0 e x=0.

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