Apresente um esboço das superfícies z
=f(x, y).
f(x, y)=4 x{2}+y{2}
=f(x, y).
f(x, y)=4 x{2}+y{2}
Passo 1
O enunciado pede o esboço da superfície definida por
O conteúdo usado é geometria de superfícies de funções de duas variáveis. Para esboçar vamos:
- obter curvas de nível
, - examinar cortes planos (seções por planos
e ), - combinar essas informações para inferir a forma geral.
Passo 2
Curvas de nível são dadas por
Cada
fixa uma elipse centrada na origem, com semi-eixos
Por exemplo:
elipse com semi-eixos
.
elipse com semi-eixos
.
À medida que cresce, as elipses “abrem” uniformemente.
À medida que
Passo 3
Seções por planos retos:
- Plano
:
que é uma parábola abrindo para cima no plano
.
2. Plano :
2. Plano
que é uma parábola mais “larga” no plano
.
Isso mostra que a curvatura em direção ao eixo
é maior (coeficiente 4) do que em direção a
.
Passo 4
Com as curvas de nível elípticas e as parábolas nos cortes principais, concluímos que a superfície é um paraboloide elíptico que abre para cima, sendo mais “estreito” no eixo
e mais “largo” no eixo
. Para esboçar em perspectiva:
- Desenhe os eixos
, , ortogonais. - Marque algumas elipses no plano horizontal (curvas de nível).
- Trace as parábolas nos planos
e . - Una suavemente esses esboços para formar a casca paraboloidal.
Resposta
A superfície é um paraboloide elíptico definido por
com curvas de nível elipses de equação
e cortes parabólicos nos planos
e
.