Determine se a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n^{2}+3 n}{\sqrt{5+n^{6}}} converge ou diverge.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n^{2}+3n}{\sqrt{5+n^{6}}}
converge ou diverge. Trata-se de uma série de termos positivos, então podemos usar o teste de comparação por limite (ou teste de comparação assintótica) com uma série-padrão cujo comportamento conhecemos, por exemplo \sum 1/n.

Passo 2

Definimos
a_{n} = \frac{2n^{2}+3n}{\sqrt{5+n^{6}}}, \qquad b_{n} = \frac{1}{n}.
Calculamos o limite
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim_{n\to\infty} n\;\frac{2n^{2}+3n}{\sqrt{5+n^{6}}} = \lim_{n\to\infty}\frac{2n^{3}+3n^{2}}{n^{3}\sqrt{1+5/n^{6}}} = \frac{2+0}{1} = 2.
Como 0< L<\infty, as séries \sum a_{n} e \sum b_{n} têm o mesmo comportamento de convergência. Sabemos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
é a série harmônica, que diverge. Portanto \sum a_{n} também diverge.

Resposta

A série diverge.

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