Sendo V um espaço vetorial
e
, prove que:
- P2: Para cada
, existe um único
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num espaço vetorial
sobre
, para cada vetor
existe um único vetor que chamamos de
e que satisfaz
onde
é o elemento neutro aditivo de
. Vamos usar os axiomas de espaço vetorial: em particular a existência de inverso aditivo e as propriedades de associatividade e comutatividade da adição.
Passo 2
(Existência)
Por hipótese de espaço vetorial, já temos o axioma que garante a existência de um inverso aditivo: para cada existe algum
tal que
Por hipótese de espaço vetorial, já temos o axioma que garante a existência de um inverso aditivo: para cada
Definimos então
. Assim a existência de
está assegurada pelos axiomas.
Passo 3
(Unicidade)
Suponha que existam dois vetores que sejam ambos inversos aditivos de
, isto é,
Suponha que existam dois vetores
Queremos mostrar que
. Começamos por escrever
e, em seguida, usamos
:
Pela associatividade da adição isso é
Pela comutatividade
e sabemos que
, então
Logo qualquer inverso aditivo de
coincide com
. Isso prova a unicidade.
Resposta
Prova de que para cada
existe um único vetor
tal que
.