Sendo V um espaço vetorial e u, v e e in V e alpha e beta in R, prove que:
  • P2: Para cada v in V, existe um único -v in V.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num espaço vetorial V sobre R, para cada vetor vin V existe um único vetor que chamamos de -v e que satisfaz
v + (-v) = 0,
onde 0 é o elemento neutro aditivo de V. Vamos usar os axiomas de espaço vetorial: em particular a existência de inverso aditivo e as propriedades de associatividade e comutatividade da adição.

Passo 2

(Existência)
Por hipótese de espaço vetorial, já temos o axioma que garante a existência de um inverso aditivo: para cada vin V existe algum win V tal que
v + w = 0
Definimos então -v := w. Assim a existência de -v está assegurada pelos axiomas.

Passo 3

(Unicidade)
Suponha que existam dois vetores w1,w2in V que sejam ambos inversos aditivos de v, isto é,
v + w1 = 0 e v + w2 = 0
Queremos mostrar que w1 = w2. Começamos por escrever
w1 = w1 + 0
e, em seguida, usamos 0 = v + w2:
w1 = w1 + (v + w2)
Pela associatividade da adição isso é
w1 = (w1 + v) + w2
Pela comutatividade w1+v = v+w1 e sabemos que v+w1=0, então
w1 = 0 + w2 = w2
Logo qualquer inverso aditivo de v coincide com -v. Isso prova a unicidade.

Resposta

Prova de que para cada vin V existe um único vetor -vin V tal que v+(-v)=0.

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