Apresente na forma de intervalo de números reais o conjunto solução das inequações:
\frac{1}{x-1}>0.

Passo 1

O enunciado pede: apresentar na forma de intervalo o conjunto solução da inequação
\frac{1}{x-1}>0.
Informações dadas e restrições imediatas:
  • A expressão é uma fração com numerador 1 e denominador x-1.
  • O denominador não pode ser zero, portanto x\neq1.
  • A pergunta é: para quais valores de x\in\mathbb{R} a fração fica estritamente positiva?

Passo 2

Conceito-chave (mini-aula): uma fração \dfrac{A}{B} é positiva quando o numerador A e o denominador B têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos). Se A for sempre positivo, então a positividade da fração depende só do sinal de B.
Aqui o numerador é 1. Observe que 1 é um número positivo e não depende de x. Logo, para que \dfrac{1}{x-1}>0 precisamos que o denominador x-1 também seja positivo.

Passo 3

Resolver a condição que encontramos: exigir que o denominador seja positivo.
x-1>0.
Agora aplicamos uma operação simples para isolar x: somamos 1 aos dois lados da desigualdade.
x>1.
Essa é a condição encontrada. Lembrete: havia a restrição x\neq1, mas x>1 já exclui x=1, então está tudo bem.

Passo 4

Verificação pela reta numérica (método alternativo e útil em prova): o ponto crítico que anula o denominador é x=1. Isso divide a reta em dois intervalos: (-\infty,1) e (1,\infty).
  • Teste em (-\infty,1): escolha x=0. Então x-1= -1 e \dfrac{1}{x-1}=\dfrac{1}{-1}=-1<0. Portanto a fração é negativa em todo esse intervalo.
  • Teste em (1,\infty): escolha x=2. Então x-1=1 e \dfrac{1}{x-1}=1>0. Portanto a fração é positiva em todo esse intervalo.
Conclusão dos testes: a desigualdade é satisfeita exatamente para x no intervalo (1,\infty).

Passo 5

Dicas para a prova (amigo falando): sempre encontre os pontos onde o numerador ou denominador são zero ou mudam de sinal — aqui só x=1. Se o numerador for constante não nulo, a desigualdade reduz muito e dá para resolver direto. Se fosse \dfrac{-1}{x-1}>0, por exemplo, a solução seria o intervalo onde x-1<0 (ou seja x<1). Testes com valores simples ( 0,1,2) ajudam a checar se a resposta faz sentido.

Resposta

(1,\infty)

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