Apresente na forma de intervalo de números reais o conjunto solução das inequações:
.
Passo 1
O enunciado pede: apresentar na forma de intervalo o conjunto solução da inequação
Informações dadas e restrições imediatas:
- A expressão é uma fração com numerador
e denominador . - O denominador não pode ser zero, portanto
. - A pergunta é: para quais valores de
a fração fica estritamente positiva?
Passo 2
Conceito-chave (mini-aula): uma fração
é positiva quando o numerador
e o denominador
têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos). Se
for sempre positivo, então a positividade da fração depende só do sinal de
.
Aqui o numerador é
. Observe que
é um número positivo e não depende de
. Logo, para que
precisamos que o denominador
também seja positivo.
Passo 3
Resolver a condição que encontramos: exigir que o denominador seja positivo.
Agora aplicamos uma operação simples para isolar
: somamos
aos dois lados da desigualdade.
Essa é a condição encontrada. Lembrete: havia a restrição
, mas
já exclui
, então está tudo bem.
Passo 4
Verificação pela reta numérica (método alternativo e útil em prova): o ponto crítico que anula o denominador é
. Isso divide a reta em dois intervalos:
e
.
- Teste em
: escolha . Então e . Portanto a fração é negativa em todo esse intervalo. - Teste em
: escolha . Então e . Portanto a fração é positiva em todo esse intervalo.
Conclusão dos testes: a desigualdade é satisfeita exatamente para
no intervalo
.
Passo 5
Dicas para a prova (amigo falando): sempre encontre os pontos onde o numerador ou denominador são zero ou mudam de sinal — aqui só
. Se o numerador for constante não nulo, a desigualdade reduz muito e dá para resolver direto. Se fosse
, por exemplo, a solução seria o intervalo onde
(ou seja
). Testes com valores simples (
) ajudam a checar se a resposta faz sentido.