Apresente a fórmula de iteração para o método de Taylor de ordem 2 aplicado ao PVI abaixo:
ly^prime+y=x y(0)=0,
sendo h=0.1;
Verifique que y(x)=exp (-x)+x-1 é solução do PVI;

Passo 1

Beleza, o enunciado é um PVI (problema de valor inicial) dado por
y' + y = x, y(0)=0,
e a gente vai usar o método de Taylor de ordem 2 com passo .
Ou seja, a matéria aqui é “métodos numéricos para EDO” e, em especial, o método de Taylor de 2ª ordem.
Para resolver, precisamos:
  1. identificar a função tal que ,
  2. calcular as derivadas parciais e ,
  3. montar a fórmula de iteração de Taylor-2,
  4. verificar que a função candidata realmente resolve o PVI.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a EDO na forma y' = x - y Longrightarrow f(x,y)=x - y .
Como o enunciado diz fx = partialpartial x(x - y)=1, fy = partialpartial y(x - y)=-1 , temos
Agora calculamos as derivadas parciais:

Passo 3

A fórmula de Taylor de ordem 2 é
yn+1 ;=; yn + h,f(xn,yn) + h^22,ddxf(xn,yn)
E a derivada total de ddxf(xn,yn) = fx(xn,yn) + fy(xn,yn),f(xn,yn) = 1 + (-1),(xn - yn) = 1 - xn + yn em relação a vale
Substituindo e , fica

Passo 4

Verificação da solução exata :
- Derivada: .
- Soma .
- E .
Portanto, essa satisfaz tanto a EDO quanto a condição inicial.

Resposta

A fórmula de iteração do método de Taylor de 2ª ordem (com boxed yn+1 ;=; yn + 0.1,(xn - yn) + 0.005,(1 - xn + yn), xn = n,h ) é
boxedy(x)=e^-x+x-1
E fica confirmado que a solução exata do PVI é

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