Apresente a fórmula de iteração para o método de Taylor de ordem 2 aplicado ao PVI abaixo:
sendo
;
Verifique que
é solução do PVI;
sendo
Verifique que
Passo 1
Beleza, o enunciado é um PVI (problema de valor inicial) dado por
e a gente vai usar o método de Taylor de ordem 2 com passo
.
Ou seja, a matéria aqui é “métodos numéricos para EDO” e, em especial, o método de Taylor de 2ª ordem.
Para resolver, precisamos:
Ou seja, a matéria aqui é “métodos numéricos para EDO” e, em especial, o método de Taylor de 2ª ordem.
Para resolver, precisamos:
- identificar a função
tal que , - calcular as derivadas parciais
e , - montar a fórmula de iteração de Taylor-2,
- verificar que a função candidata
realmente resolve o PVI.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a EDO na forma
.
Como o enunciado diz , temos
Como o enunciado diz
Agora calculamos as derivadas parciais:
Passo 3
A fórmula de Taylor de ordem 2 é
E a derivada total de
em relação a
vale
Substituindo
e
, fica
Passo 4
Verificação da solução exata
:
- Derivada: .
- Soma .
- E .
Portanto, essa satisfaz tanto a EDO quanto a condição inicial.
- Derivada:
- Soma
- E
Portanto, essa
Resposta
A fórmula de iteração do método de Taylor de 2ª ordem (com
) é
E fica confirmado que a solução exata do PVI é