Calcular y(2,1) utilizando a série de Taylor de 2^ a ordem para o PVI ly^prime=y y(0)=1

Passo 1

Beleza! Aqui a gente tem o problema inicial (PVI)
y′=y, y(0)=1
e quer calcular y(2,1), ou seja, aproximar y em x=2 usando o método de Taylor de 2ª ordem com passo h=1.
Conteúdo: método de Taylor para EDO.
O que precisamos:
  1. a função f(x,y)=y
  2. suas derivadas parciais f_x e f_y
  3. fórmula do método de Taylor de ordem 2

Passo 2

Primeiro, escrevendo f(x,y)=y.
Para aplicar Taylor de 2ª ordem precisamos de
f_x=\frac{∂f}{∂x} e f_y=\frac{∂f}{∂y}.
Como f não depende de x, f_x=0. Como f= y, f_y=1.

Passo 3

A fórmula do passo de Taylor de 2ª ordem é:
yn+1=yn + h,f(xn,yn) + h^22l(fx(xn,yn)+fy(xn,yn),f(xn,yn)r)
Substituindo f,f_x,f_y:
yn+1 = yn + h,yn + h^22(0 + 1cdot yn) = ynl(1 + h + tfrach^22r)

Passo 4

Aqui h=1, e vamos de x_0=0 (com y_0=1) até x_2=2 em dois passos de tamanho 1.
  • Passo 1 (de 0 para 1):
y1 = y0l(1+1+tfrac1^22r) = 1cdotl(2.5r) = 2.5
- Passo 2 (de 1 para 2):
y2 = y1l(1+1+tfrac1^22r) = 2.5cdot2.5 = 6.25

Resposta

A aproximação pelo método de Taylor de 2ª ordem com h=1 em x=2 é
y(2,1)approx 6.25 ,

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