Calcular
utilizando a série de Taylor de
ordem para o PVI
Passo 1
Beleza! Aqui a gente tem o problema inicial (PVI)
y′=y, y(0)=1
e quer calcular y(2,1), ou seja, aproximar y em x=2 usando o método de Taylor de 2ª ordem com passo h=1.
Conteúdo: método de Taylor para EDO.
O que precisamos:
y′=y, y(0)=1
e quer calcular y(2,1), ou seja, aproximar y em x=2 usando o método de Taylor de 2ª ordem com passo h=1.
Conteúdo: método de Taylor para EDO.
O que precisamos:
- a função f(x,y)=y
- suas derivadas parciais f_x e f_y
- fórmula do método de Taylor de ordem 2
Passo 2
Primeiro, escrevendo f(x,y)=y.
Para aplicar Taylor de 2ª ordem precisamos de
f_x=\frac{∂f}{∂x} e f_y=\frac{∂f}{∂y}.
Como f não depende de x, f_x=0. Como f= y, f_y=1.
Para aplicar Taylor de 2ª ordem precisamos de
f_x=\frac{∂f}{∂x} e f_y=\frac{∂f}{∂y}.
Como f não depende de x, f_x=0. Como f= y, f_y=1.
Passo 3
A fórmula do passo de Taylor de 2ª ordem é:
Substituindo f,f_x,f_y:
Passo 4
Aqui h=1, e vamos de x_0=0 (com y_0=1) até x_2=2 em dois passos de tamanho 1.
- Passo 1 (de 0 para 1):
- Passo 2 (de 1 para 2):
Resposta
A aproximação pelo método de Taylor de 2ª ordem com h=1 em x=2 é