Encontre o polinômio característico, autovalores e auto vetores de
[
A=\left[ ccc 1 & 1 & 1 0 & 2 & -1 0 & -3 & 0 \right]

Passo 1

O enunciado pede para achar o polinômio característico, os autovalores e os autovetores da matriz
Para isso vamos usar a definição de polinômio característico A=1 & 1 & 1 n0 & 2 & -1 n0 & -3 & 0 e depois resolver sistemas lineares homogêneos det(A-lambda I) para cada autovalor.

Passo 2

Formamos a matriz A-lambda I e observamos que sua primeira coluna tem zeros, então expandimos o determinante por essa coluna:

Passo 3

Calculamos o determinante 2×2 e simplificamos:
det(A-lambda I)=(1-lambda)l((2-lambda)(-lambda)-(-1)(-3)r)
=(1-lambda)(-2lambda+lambda^2-3)=(1-lambda)(lambda^2-2lambda-3)

Passo 4

Fatoramos lambda^2-2lambda-3=(lambda-3)(lambda+1), obtendo
de onde os autovalores são
det(A-lambda I)=(1-lambda)(lambda-3)(lambda+1)=-(lambda-1u001b[0m)(lambda-3)(lambda+1), .

Passo 5

Para lambda=1 montamos (A-I)v=0:
Das equações vem 0 & 1 & 1 n0 & 1 & -1 n0 & -3 & -1xyz=0 e y+z=0, o que força y-z=0 e deixa y=z=0 livre. Um autovetor é x.

Passo 6

Para lambda=3 montamos (A-3I)v=0:
As equações dão -2 & 1 & 1 n0 & -1 & -1 n0 & -3 & -3xyz=0 e y+z=0, logo 2x=y+z=0. Tomando x=0,y=-z obtemos o autovetor z=1.

Passo 7

Para lambda=-1 montamos (A+I)v=0:
Da segunda equação 2 & 1 & 1 n0 & 3 & -1 n0 & -3 & 1xyz=0 vem 3y-z=0. Da primeira z=3y vem 2x+y+z=0 então 2x+4y=0. Tomando x=-2y obtemos y=1 como autovetor.

Resposta

O polinômio característico é det(A-lambda I)=(1-lambda)(lambda-3)(lambda+1). Os autovalores são lambda=1,3,-1. Autovetores correspondentes:
para lambda=1: (1,0,0),
para lambda=3: (0,-1,1),
para lambda=-1: (-2,1,3).

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