Encontre o polinômio característico, autovalores e auto vetores de
[
A=\left[
\right]
A=\left[
Passo 1
O enunciado pede para achar o polinômio característico, os autovalores e os autovetores da matriz
Para isso vamos usar a definição de polinômio característico
e depois resolver sistemas lineares homogêneos
para cada autovalor.
Passo 2
Formamos a matriz
e observamos que sua primeira coluna tem zeros, então expandimos o determinante por essa coluna:
Passo 3
Calculamos o determinante 2×2 e simplificamos:
Passo 4
Fatoramos
, obtendo
de onde os autovalores são
.
Passo 5
Para
montamos
:
Das equações vem
e
, o que força
e deixa
livre. Um autovetor é
.
Passo 6
Para
montamos
:
As equações dão
e
, logo
. Tomando
obtemos o autovetor
.
Passo 7
Para
montamos
:
Da segunda equação
vem
. Da primeira
vem
então
. Tomando
obtemos
como autovetor.
Resposta
O polinômio característico é
. Os autovalores são
. Autovetores correspondentes:
para :
,
para :
,
para :
.
para
para
para