Apresente os números complexos nas formas cartesianas, exponencial, polar e trigonométrica.
z_{1}=10+5 j

Passo 1

O enunciado pede para representar o número complexo z_{1}=10+5j em quatro formas: cartesiana, polar, trigonométrica e exponencial. Para isso, vamos precisar calcular o módulo r e o argumento \theta de z_{1}.

Passo 2

O módulo de um complexo a+bj é dado por
r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}.
Aqui a=10 e b=5, então
r = \sqrt{10^{2} + 5^{2}} = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}.

Passo 3

O argumento de a+bj no primeiro quadrante é
\theta = \arctan\!\biggl(\frac{b}{a}\biggr).
Substituindo a=10 e b=5,
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{5}{10}\bigr) = \arctan\!\bigl(0,5\bigr)\approx 0,4636\text{ rad}
(o que equivale a aproximadamente 26,565^{\circ}).

Passo 4

A forma cartesiana já está dada no enunciado:
z_{1} = 10 + 5j.

Passo 5

A forma polar expressa o complexo pelo par (r,\theta):
z_{1} = 5\sqrt{5}\,\angle 0,4636\text{ rad}.

Passo 6

A forma trigonométrica usa cosseno e seno:
z_{1} = 5\sqrt{5}\,\bigl(\cos(0,4636) + j\,\sin(0,4636)\bigr).

Passo 7

A forma exponencial usa a base e:
z_{1} = 5\sqrt{5}\,e^{j\,0,4636}.

Resposta

Forma cartesiana:
z_{1} = 10 + 5j
Forma polar:
z_{1} = 5\sqrt{5}\,\angle 0,4636\text{ rad}
Forma trigonométrica:
z_{1} = 5\sqrt{5}\,\bigl(\cos(0,4636) + j\,\sin(0,4636)\bigr)
Forma exponencial:
z_{1} = 5\sqrt{5}\,e^{j\,0,4636}

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