) Verificar se a função dada é contínua no ponto indicado: (4,0pt)
é contínua em
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função vetorial
é contínua em
. Vamos usar que uma função vetorial é contínua em
se, e somente se, cada componente é contínua em
.
Passo 2
Primeiro componente:
. Sabemos da teoria que composição de funções contínuas é contínua, e
e
são contínuas em todo
. Logo,
e
. Portanto
é contínua em
.
Passo 3
Segunda componente:
. A exponencial e o polinômio
são contínuos em todo lugar, logo
e
. Assim
também é contínua em
.
Passo 4
Terceira componente:
Ao substituir
dá
, uma forma indeterminada. Para estudar o limite, fatoramos o numerador:
de onde, para
,
Logo
Porém
não está definida no enunciado (fica
), então
não é contínua em
.
Passo 5
Como a terceira componente não está definida em
, não podemos ter
Logo a função vetorial
não é contínua em
.
Resposta
A função não é contínua em
, pois a componente em
apresenta descontinuidade removível e não está definida no ponto.