1^{\circ} ) Verificar se a função dada é contínua no ponto indicado: (4,0pt)
\vec{f}(t)=\operatorname{sen} 3 t \vec{i}+e^{t^{2}} \vec{j}+\left(\frac{t^{2}-\pi^{2}}{t-\pi}\right) \vec{k} é contínua em t_{0}=\pi

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função vetorial
\vec{f}(t)=\operatorname{sen}(3t)\,\vec{i} \;+\; e^{t^{2}}\,\vec{j} \;+\;\frac{t^{2}-\pi^{2}}{t-\pi}\,\vec{k}
é contínua em t_{0}=\pi. Vamos usar que uma função vetorial é contínua em t_{0} se, e somente se, cada componente é contínua em t_{0}.

Passo 2

Primeiro componente: f_{1}(t)=\operatorname{sen}(3t). Sabemos da teoria que composição de funções contínuas é contínua, e t\mapsto3t e \operatorname{sen} são contínuas em todo \mathbb{R}. Logo,
\lim_{t\to\pi}\operatorname{sen}(3t)=\operatorname{sen}(3\pi)=0
e f_{1}(\pi)=\operatorname{sen}(3\pi)=0. Portanto f_{1} é contínua em \pi.

Passo 3

Segunda componente: f_{2}(t)=e^{t^{2}}. A exponencial e o polinômio t^{2} são contínuos em todo lugar, logo
\lim_{t\to\pi}e^{t^{2}}=e^{\pi^{2}}
e f_{2}(\pi)=e^{\pi^{2}}. Assim f_{2} também é contínua em \pi.

Passo 4

Terceira componente:
f_{3}(t)=\frac{t^{2}-\pi^{2}}{t-\pi}.
Ao substituir t=\pi 0/0, uma forma indeterminada. Para estudar o limite, fatoramos o numerador:
t^{2}-\pi^{2}=(t-\pi)(t+\pi),
de onde, para t\neq\pi,
f_{3}(t)=t+\pi.
Logo
\lim_{t\to\pi}f_{3}(t) =\lim_{t\to\pi}(t+\pi) =2\pi.
Porém f_{3}(\pi) não está definida no enunciado (fica 0/0), então f_{3} não é contínua em \pi.

Passo 5

Como a terceira componente não está definida em t_{0}=\pi, não podemos ter
\lim_{t\to\pi}\vec{f}(t)=\vec{f}(\pi).
Logo a função vetorial \vec{f}(t) não é contínua em t_{0}=\pi.

Resposta

A função não é contínua em t_{0}=\pi, pois a componente em \vec{k} apresenta descontinuidade removível e não está definida no ponto.

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