Apresente uma parametrização diferenciável para a curva C em R^3, interseção das superfícies dadas por:
z=1-x^2, z >= 0 e x=y

Passo 1

O enunciado pede a parametrização diferenciável da curva C obtida pela interseção do paraboloide z=1-x^2 (com z>=0) e do plano x=y. Para isso, vamos usar uma única variável t e expressar (x,y,z) em função de t.

Passo 2

Como a reta de interseção satisfaz x=y, podemos definir
x(t)=t, y(t)=t
Substituindo em z=1-x^2, obtemos
z(t)=1 - t^2
Para garantir z>=0, precisamos ter 1 - t^2>=0, ou seja, tin[-1,1]. A função
r(t) = l(t,;t,;1 - t^2r), tin[-1,1],
é claramente diferenciável (componentes polinomiais) e descreve toda a curva C.

Resposta

r(t) = l(t,;t,;1 - t^2r), tin[-1,1]

Exercícios relacionados