Suponha que a temperatura de um ponto ( ) é dada por . Determine as temperaturas extremas (máxima e mínima) na esfera de raio 1 centrado na origem, e ache os pontos onde estas temperaturas extremas são atingidas.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar as temperaturas extremas (máxima e mínima) em uma esfera de raio 1 centrada na origem, onde a temperatura em cada ponto é dada por . Para isso, vamos usar conceitos de otimização em geometria, mais especificamente o método dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que precisamos fazer. Queremos encontrar os pontos na superfície da esfera onde a temperatura atinge seus valores máximos e mínimos. Isso significa que vamos otimizar a função sujeita à restrição da esfera.
Passo 3
Para resolver esse tipo de problema, usamos o método dos multiplicadores de Lagrange. Esse método nos ajuda a encontrar os pontos de máximo e mínimo de uma função sujeita a uma restrição. A ideia é que, no ponto extremo, o gradiente da função que queremos otimizar é paralelo ao gradiente da restrição.
Passo 4
Vamos definir a função que queremos otimizar e a restrição:
Função a otimizar:
Restrição:
Passo 5
Calculamos os gradientes dessas funções:
Gradiente de :
Gradiente de :
Passo 6
Segundo o método dos multiplicadores de Lagrange, devemos ter:
Isso se traduz nas seguintes equações:
Passo 7
Vamos resolver essas equações para x, y e z em termos de lambda:
x = 12lambda y = 22lambda = 1lambda z = 32lambda
Passo 8
Agora, usamos a restriçãox^2 + y^2 + z^2 = 1 para encontrar o valor de lambda. Substituindo os valores de x, y e z: