Suponha que a temperatura de um ponto ( x, y, z ) é dada por x+2 y+3 z. Determine as temperaturas extremas (máxima e mínima) na esfera de raio 1 centrado na origem, e ache os pontos onde estas temperaturas extremas são atingidas.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar as temperaturas extremas (máxima e mínima) em uma esfera de raio 1 centrada na origem, onde a temperatura em cada ponto (x, y, z) é dada por T = x + 2y + 3z. Para isso, vamos usar conceitos de otimização em geometria, mais especificamente o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que precisamos fazer. Queremos encontrar os pontos na superfície da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1 onde a temperatura T = x + 2y + 3z atinge seus valores máximos e mínimos. Isso significa que vamos otimizar a função T sujeita à restrição da esfera.

Passo 3

Para resolver esse tipo de problema, usamos o método dos multiplicadores de Lagrange. Esse método nos ajuda a encontrar os pontos de máximo e mínimo de uma função sujeita a uma restrição. A ideia é que, no ponto extremo, o gradiente da função que queremos otimizar é paralelo ao gradiente da restrição.

Passo 4

Vamos definir a função que queremos otimizar e a restrição:
  • Função a otimizar: f(x, y, z) = x + 2y + 3z
  • Restrição: g(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0

Passo 5

Calculamos os gradientes dessas funções:
  • Gradiente de f: nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) = (1, 2, 3)
  • Gradiente de g: nabla g = ( partial gpartial x, partial gpartial y, partial gpartial z ) = (2x, 2y, 2z)

Passo 6

Segundo o método dos multiplicadores de Lagrange, devemos ter:
nabla f = lambda nabla g
Isso se traduz nas seguintes equações:
1 = lambda cdot 2x 2 = lambda cdot 2y 3 = lambda cdot 2z

Passo 7

Vamos resolver essas equações para x, y e z em termos de lambda:
x = 12lambda y = 22lambda = 1lambda z = 32lambda

Passo 8

Agora, usamos a restrição x^2 + y^2 + z^2 = 1 para encontrar o valor de lambda. Substituindo os valores de x, y e z:
( 12lambda )^2 + ( 1lambda )^2 + ( 32lambda )^2 = 1
Simplificando:
14lambda^2 + 1lambda^2 + 94lambda^2 = 1 1 + 4 + 94lambda^2 = 1 144lambda^2 = 1 72lambda^2 = 1 lambda^2 = 72 lambda = pm raiz72

Passo 9

Com o valor de lambda, encontramos os pontos:
Para lambda = raiz72:
x = 12raiz72 = 1raiz14 y = 1raiz72 = 2raiz14 z = 32raiz72 = 3raiz14
Para lambda = -raiz72:
x = -1raiz14 y = -2raiz14 z = -3raiz14

Passo 10

Finalmente, calculamos as temperaturas nesses pontos para confirmar os extremos:
Para ( 1raiz14, 2raiz14, 3raiz14 ):
T = 1raiz14 + 2 cdot 2raiz14 + 3 cdot 3raiz14 = 14raiz14 = raiz14
Para ( -1raiz14, -2raiz14, -3raiz14 ):
T = -1raiz14 - 2 cdot 2raiz14 - 3 cdot 3raiz14 = -14raiz14 = -raiz14

Resposta

As temperaturas extremas na esfera de raio 1 são:
  • Temperatura Máxima: raiz14 atingida no ponto ( 1raiz14, 2raiz14, 3raiz14 ).
  • Temperatura Mínima: -raiz14 atingida no ponto ( -1raiz14, -2raiz14, -3raiz14 ).

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