Encontre y(k) para as seguintes equações a diferença:
12 y(k)+7 y(k-1)+y(k-2)=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação a diferença linear homogênea de segunda ordem
12,y(k)+7,y(k-1)+y(k-2)=0
O conteúdo usado será a técnica da equação característica para equações a diferença com coeficientes constantes.

Passo 2

Assumimos uma solução da forma
y(k)=r^k,
substituímos na equação dada e dividimos por r^k-2, obtendo a equação característica em r:
12,r^2 +7,r +1 = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante da quadrática:
De<a =7^2 -4cdot12cdot1 =49-48=1
Assim as raízes são
r1,2 = -7 pm raizDe<a2cdot12 = -7 pm 124,
portanto
r1 = -tfrac624 = -tfrac14, r2 = -tfrac824 = -tfrac13

Passo 4

Como as raízes r1 e r2 são distintas, a solução geral da equação a diferença é dada por
y(k) = C1,r1^k + C2,r2^k,
onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

y(k) = C1l(-tfrac14r)^k + C2l(-tfrac13r)^k

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