Apresente uma parametrização diferenciável para a curva C em R^3, interseção das superfícies dadas por:
x^2+y^2+z^2=2 y, z >= 0 e z-y+1=0

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização diferenciável da curva CsubsetR^3 definida como interseção da esfera
x^2+y^2+z^2=2y, z>=0
com o plano
z - y + 1 = 0
Vamos usar geometria analítica: completar o quadrado na esfera e depois impor o plano.

Passo 2

Completemos o quadrado na esfera. Reescrevendo
x^2+y^2+z^2=2y
como
x^2+(y-1)^2+z^2=1
Isso mostra que é uma esfera de raio 1 e centro (0,1,0).

Passo 3

Do plano temos
z - y + 1 = 0 Longrightarrow z = y - 1
Chamemos de u a quantidade y-1. Então z = u e y = 1+u.

Passo 4

Substituindo y-1 = u e z=u na equação da esfera completada:
x^2+(y-1)^2+z^2 = x^2+u^2+u^2 = x^2+2u^2 =1
Isso é uma elipse no plano (x,u).

Passo 5

Parametrizamos essa elipse de forma padrão:
x = cos t, u = 1raiz2sin t,
para t variando em algum intervalo. Então
y = 1 + u = 1 + 1raiz2sin t, z = u = 1raiz2sin t

Passo 6

Como exigimos z>=0, precisamos de
1raiz2sin t >= 0 Longrightarrow sin t >= 0 Longrightarrow tin [0,pi]
Isso garante que abarcamos toda a curva com z>=0.

Resposta

Uma parametrização diferenciável de C é
r(t) = l(cos t,;1+tfrac1raiz2sin t,;tfrac1raiz2sin tr), tin [0,pi]

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