Apresente uma parametrização diferenciável para a curva
em
, interseção das superfícies dadas por:
e
Passo 1
O enunciado pede uma parametrização diferenciável da curva
definida como interseção da esfera
com o plano
Vamos usar geometria analítica: completar o quadrado na esfera e depois impor o plano.
Passo 2
Completemos o quadrado na esfera. Reescrevendo
como
Isso mostra que é uma esfera de raio
e centro
.
Passo 3
Do plano temos
Chamemos de
a quantidade
. Então
e
.
Passo 4
Substituindo
e
na equação da esfera completada:
Isso é uma elipse no plano
.
Passo 5
Parametrizamos essa elipse de forma padrão:
para
variando em algum intervalo. Então
Passo 6
Como exigimos
, precisamos de
Isso garante que abarcamos toda a curva com
.
Resposta
Uma parametrização diferenciável de
é