Calcule as integrais definidas abaixo. Justifique.
integral1^2 x e^x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral1^2 x,e^x^2 ,dx
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição, pois dentro da exponencial temos x^2 e fora ,x,dx, que é (até constante) a derivada de x^2.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^2
de onde
du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2
Quando x=1, temos u=1; quando x=2, temos u=4. Assim a integral muda de variáveis para
integral1^2 x,e^x^2 ,dx = integralu=1^u=4 e^u,du2 = 12integral1^4e^u,du

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo na última integral:
integral1^4e^u,du = l[e^ur]1^4 = e^4-e^1 = e^4-e
Multiplicando por tfrac12, obtemos
12(e^4-e)

Resposta

integral1^2 x,e^x^2 ,dx = e^4-e2

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